التعريف بالنظير الضربي للمصفوفة

يمكن تعريف النظير الضربي للمصفوفة (بالإنجليزية: The multiplicative inverse of a matrix)، بأنه المصفوفة التي إذا تم ضربها بالمصفوفة الأصلية يكون الناتج مصفوفة الوحدة، فإذا كانت المصفوفة الأصلية هي A، فإن النظير الضربي لهذه المصفوفة هو المصفوفة A-1، وهذا يشبه عملية ضرب الرقم بمقلوبه مثل ضرب الرقم 2 بالرقم 2-1، فتكون المسألة كالآتي:[١][٢]


2 × 2-1

= 2 × 1/2

= 2 × 1/2

=1

وبالمثل بالنسبة لضرب المصفوفة A بنظيرها الضربي A-1، ولكن الناتج يكون مصفوفة الوحدة بدلًا من أن يكون الرقم 1، ويمكن التعبير عن ضرب المصفوفة بنظيرها الضربي كالآتي:

A × A-1 = I

حيث I مصفوفة الوحدة أو المصفوفة المحايدة (Identity Matrix).




مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة، جميع عناصر قطرها الأول الرئيسي قيمها الرقم 1، وباقي عناصرها عبارة عن أصفار، وهي تشه الرقم 1، إذ إن ضربها بأي مصفوفة يعطي المصفوفة نفسها.




شرط إيجاد النظير الضربي للمصفوفة

عملية إيجاد النظير الضربي للمصفوفة، أو ما يمكن تسميته بمعكوس المصفوفة أو مقلوبها تعد عملية أصعب قليلًا من إيجاد مقلوب العدد، ويشترط لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة أن تكون مصفوفةً مربعة؛ أي أن عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها، على سبيل المثال، يمكن إيجاد النظير الضربي لمصفوفة مربعة تتكون من صفين وعمودين × 2 أو مصفوفة مربعة تتكون من 3 صفوف و3 أعمدة × 3، وهكذا.[١][٢]




بعض المصفوفات لا يوجد لها نظير ضربي مطلقًا.




كيفية إيجاد النظير الضربي للمصفوفة

لإيجاد النظير الضربي للمصفوفة يجب اتباع الخطوات الآتية:[١][٣][٢]

  • التأكد من تحقق شرط إيجاد النظير الضربي للمصفوفة، وهو أن تكون مصفوفةً مربعة؛ أي أن عدد صفوفها مساوٍ لعدد أعمدتها.
  • إيجاد محددة المصفوفة، وذلك بضرب عناصر القطر الأول الرئيسي ببعضها ثم طرح ناتج ضرب عناصر القطر الثاني الفرعي منه، وعندها ينتج رقم معين، ولا فرق إن كان موجبًا أم سالبًا، ولكن يجب التأكيد على أن هذا الرقم لا يجب أن يكون صفرًا، وإلا فإننا نقول إن هذه المصفوفة لا يوجد لها نظيرٌ ضربي، أي أنه إذا كانت محددة المصفوفة = صفر؛ فإنه لا يوجد نظير ضربي لها.
  • ضرب مقلوب محددة المصفوفة بمصفوفة أخرى يكون قطرها الأول الرئيسي هو معكوس القطر الأول الرئيسي للمصفوفة الأصلية (نبدل عناصر القطر فقط)، أما قطرها الثاني الفرعي فيكون نفس القطر الثاني الفرعي للمصفوفة الأصلية مع عكس إشارة عناصره فقط.
  • تكون المصفوفة التي نتجت من عملية الضرب هذه هي النظير الضربي للمصفوفة الأصلية، والتي إذا ضربت بها يكون الناتج مصفوفة الوحدة.


للتوضيح بشكل أفضل؛ لاحظ ما يأتي:

إذا أردنا إيجاد النظير الضربي للمصفوفة A الآتية، فيجب اتباع الخطوات السابقة كالآتي:[١][٣][٢]




  • أولًا نتأكد من تحقق الشرط وهو أن تكون A مصفوفة مربعة، وبما أن عدد صفوفها يساوي 2 وعدد أعمدتها يساوي 2 فإن الشرط تحقق وهي مصفوفة مربعة.
  • الآن نجد محددة المصفوفة A كالآتي:

(A| = (a × d) - (b × c|

  • الآن نضرب مقلوب محددة المصفوفة (1/ |A|) بمصفوفة جديدة كالآتي:




  • يكون ناتج عملية الضرب هذه هو النظير الضربي للمصفوفة A-1.




يمكن التحقق من صحة الحل بضرب المصفوفة الأصلية بالنظير الضربي لها، فإذا كان الناتج هو مصفوفة الوحدة فالحل يكون صحيحًا.





السؤال:

أوجد النظير الضربي للمصفوفة M الآتي إن وجد:






الحل:

المصفوفة M مصفوفة مربعة؛ لأن عدد صفوفها = عدد أعمدتها = 2، إذًا يمكن إيجاد النظير الضربي لها كالآتي:

  • أولًا نجد محددة المصفوفة M كالآتي:

محددة المصفوفة = 3×2 - 4×1

محددة المصفوفة = 6 - 4 =2

|M| يساوي 2

  • الآن نضرب مقلوب محددة المصفوفة بالمصفوفة الجديدة كالآتي:



  • عند إجراء عملية الضرب هذه نحصل على النظير الضربي للمصفوفة M وهو M-1 كالآتي:



  • وعليه فإن:






المراجع

  1. ^ أ ب ت ث "Multiplicative Inverses of Matrices and Matrix Equations", study, Retrieved 30/8/2022. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث "Inverse of a Matrix", mathsisfun, Retrieved 30/8/2022. Edited.
  3. ^ أ ب "The multiplicative inverse of matrix [ ", toppr, Retrieved 30/8/2022. Edited.