نظرة حول مميز المعادلة التربيعية

يُستخدم المييّز لإيجاد عدد الحلول الممكنة للمعادلة التربيعية، ويمكن حساب قيمته للمعادلة التربيعية على الصيغة القياسية: أس2 + ب س + جـ = 0، باستخدام القانون الآتي:[١]


  • قيمة المميز = △ = ب2 - 4أجـ.


يجد بالذكر هنا أن المميز يشكل جزءاً من الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية (القيمة أسفل الجذر)، وهي الصيغة المستخدمة لإيجاد قيم حلول المعادلة التربيعية عند تعويض قيم كل من (أ، ب، جـ) فيها:[٢]





العلاقة بين مميز المعادلة التربيعية وعدد حلولها

يمكن باستخدام المميز تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية كما ذُكر سابقاً، وذلك من خلال حساب قيمته أولاً باستخدام الصيغة السابقة، ثم النظر إلى هذه القيمة، وتحديد المناسب منها مما يلي:[١][٣]

  • إذا كانت قيمة المميز موجبة، فإن للمعادلة التربيعية هذه حلان حقيقيين ومختلفين عن بعضهما في القيمة، أما عن المنحنى البياني لها فهو يقطع محور السينات في نقطيتين.
  • إذا كانت قيمة المميز صفراً، فإن للمعادلة التربيعية هذه حلاً واحد فقط، أما عن المنحنى البياني لها فهو يقطع محور السينات في نقطة واحدة فقط.
  • إذا كانت قيمة المميز سالبة، فهذا يعني أن ليس لهذه المعادلة التربيعية حلول حقيقية، أما عن المنحنى البياني لها فهو لا يقطع محور السينات أبداً.


أمثلة على مميز المعادلة التربيعية


السؤال:

جد قيمة المميز للمعادلة التربيعية الآتية: 3س2 - 5س -7 = 0.[٤]

الحل:
  • في هذه المعادلة قيم أ = 3، ب= -5، جـ = -7.
  • تعويض القيم السابقة في معادلة المميز، وهي:
  • قيمة المميز = ب2 - 4أجـ، لينتج أنّ:
  • قيمة المميز = (-5×-5)- 4×3×-7 = 25 - (-84) = 109.





السؤال:

جد قيمة المميز للمعادلة التربيعية الآتية: س2 - 2س + 3 = 0، وحدد عدد الحلول الممكنة لها.[١]

الحل:
  • في هذه المعادلة قيم أ = 1، ب= -2، جـ = 3.
  • تعويض القيم السابقة في معادلة المميز، وهي:
  • قيمة المميز = ب2 - 4أجـ، لينتج أنّ:
  • قيمة المميز = (-2×-2)- 4×1×3 = 4 - (12) = -8، وهي أقل من الصفر، مما يعني أن المعادلة التربيعية هذه لا حلول لها.





السؤال:

جد قيمة المميز للمعادلة التربيعية الآتية: 6س2 + 10س - 1 = 0، وحدد عدد الحلول الممكنة لها.[٢]

الحل:
  • في هذه المعادلة قيم أ = 6، ب= 10، جـ = -1.
  • تعويض القيم السابقة في معادلة المميز، وهي:
  • قيمة المميز = ب2 - 4أجـ، لينتج أنّ:
  • قيمة المميز = (10×10)- 4×6×-1 = 100 - (-24) = 124، وهي موجبة أي أكبر من الصفر، مما يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حلان حقيقيان.





السؤال:

جد قيمة المميز للمعادلة التربيعية الآتية: 3س2 - 2√4س + 1 = 0، وحدد عدد الحلول الممكنة لها.[٤]

الحل:
  • في هذه المعادلة قيم أ = 3، ب= 2√4، جـ = 1.
  • تعويض القيم السابقة في معادلة المميز، وهي:
  • قيمة المميز = ب2 - 4أجـ، لينتج أنّ:
  • قيمة المميز = (2√4×2√4)- 4×3×1 = 32 - (12) = 20، وهي موجبة أي أكبر من الصفر، مما يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حلان حقيقيان.





المراجع

  1. ^ أ ب ت "Discriminant Formula", byjus.com, Retrieved 16-8-2021. Edited.
  2. ^ أ ب "Discriminant review", www.khanacademy.org, Retrieved 16-8-2021. Edited.
  3. ↑ "The Discriminant of a Quadratic", www.expii.com, Retrieved 16-8-2021. Edited.
  4. ^ أ ب "Discriminant", www.cuemath.com, Retrieved 16-8-2021. Edited.