تعريف الأعداد الأولية وخصائصها وأمثلة عليها

ما هي الأعداد الأولية؟

تعرف الأعداد الأولية (بالإنجليزية: Prime Number) بأنها الأعداد الصحيحة الموجبة، الأكبر من الرقم واحد، والتي تمتلك عاملين فقط، وهما العدد نفسه، والعدد واحد (1)، كما يمكن تعريفها بشكلٍ أبسط بأنها الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقبل القسمة على نفسها وعلى العدد واحد فقط، مثل العدد (13)؛ وبشكل عام يُعرف العامل بأنه أي عدد يمكن ضربه في عدد آخر للحصول على عدد معين آخر أكبر منهما؛ فمثلًا العوامل الأولية للرقم (10) هي (2) و(5).^[١]

أما الأعداد التي لا تحقق هذه الشروط، فتسمى بالأعداد المركبة (بالإنجليزية: Composite numbers)، حيث تمتلك الأعداد المركبة العديد من العوامل، مما يعني أنه يمكن تحليلها إلى أعداد صحيحة موجبة أخرى، مثل العدد (24)، ويشار إلى أن الرقم واحد هو عدد غير أولي، وأن أصغر الأعداد الأولية هو الرقم اثنان (2)، إذ إنه يمتلك عاملين فقط وهما الرقمين (2) و(1).^[١]

ما هي خصائص الأعداد الأولية؟

فيما يأتي أبرز خصائص الأعداد الأولية:

• يعد الصفر والواحد عددان غير أوليين.^[٢]
• تعتبر جميع الأعداد الأولية أعداداً فردية، باستثناء العدد اثنان (2) فهو العدد الأولي الزوجي الوحيد.^[٣]
• كل عدد صحيح موجب أكبر من العدد (2) يمكن أن يكون نتيجة لجمع عددين أوليين، فمثلًا العدد (7) هو ناتج جمع العددين الأوليين (5) و(2).^[٣]
• يمكن قسمة أي عدد صحيح أكبر من واحد على عدد أولي واحد على الأقل، فمثلًا العدد (4) أكبر من واحد، ويمكن قسمته على العدد الأولي (2).^[٣]
• لا يوجد عدد أولي أكبر من (5) يبدأ بالرقم (5)، فالعدد 15 مثلًا يعد عددًا مركبًا.^[٢]
• يوجد فجوة بين جميع الأعداد الأولية المتتالية، باستثناء العديدن الأوليين المتتاليين (2) و(3)، فمثلًا يوجد فجوة بين العددين (3) و(5).^[٤]
• تصبح الأعداد الأولية أكثر ندرةً مع نمو الأعداد، فمثلًا في مجموعة الأعداد الأولى (1-10) ومجموعة الأعداد الثانية (11-20) يوجد أربعة أعداد أولية، في حين أنه يوجد عددين أوليين فقط في مجموعة الأعداد الثالثة (21-30).^[٤]

كيفية تحديد الأعداد الأولية

يمكن معرفة وتحديد الأعداد الأولية باستخدام عدة طرق، ومنها ما يأتي:

التحليل إلى العوامل

يعرف العامل كما ذُكر سابقاً بأنه أي رقم يمكن ضربه في رقم آخر للحصول على رقم معين آخر؛ فمثلًا العوامل الأولية للرقم (10) هي (2) و (5) لأن هذه الأعداد الصحيحة يمكن ضربها ببعضها البعض حتى تساوي 10، كما يعتبر الرقمان (1) و (10) أيضًا عاملين للرقم 10 لأنه يمكن ضربهما في بعضهما البعض ليكون الناتج (10)، ويمكن معرفة الأعداد الأولية وتمييزها عن الأعداد المركبة من خلال تحليل العدد إلى عوامله، فإذا كان العدد يمتلك عواملاً غير نفسه والعدد واحد فإنه يكون عددًا مركبًا وليس أولياً.^[٥]

باستخدام الآلة الحاسبة

يمكن تحديد الأعداد الأولية باستخدام الآلة الحاسبة من خلال قسمة العدد المطلوب على عدد آخر (التقسيم يكون على أعداد أولية مثل: 2، 3، 5، 7 وهكذا) وملاحظة النتيجة، فمثلًا يمكن تحديد فيما إذا كان العدد (57) عددًا أوليًا من خلال قسمته على العدد (2) باستخدام الآلة الحاسبة فيكون ناتج القسمة هو الرقم (28.5) وهو ليس عددًا صحيحًا، ثم قسمة العدد (57) على العدد (3) فيكون ناتج القسمة (19) وهو عدد صحيح، وبالتالي فإن العددين (19) و(3) هما عوامل أولية للعدد (57) وعليه فإنه لا يعد عددًا أوليًا.^[٥]

أمثلة على كيفية تحديد الأعداد الأولية

فيما يأتي بعض الأمثلة التي توضح كيفية تحديد الأعداد الأولية: