شرح معادلة الدائرة
تعطى معادلة الدائرة على صور متعددة منها:
الصورة القياسية لمعادلة الدائرة
تكون على الصيغة الآتية:[١]
- (س - أ)2 + (ص - ب)2 = ر2 ؛حيث:
- ر: نصف قطر الدائرة.
- أ، ب: مركز الدائرة.
- س، ص: أية نقطة على الدائرة.
المعادلة العامة للدائرة
تكون على الصيغة الآتية:[٢]
- س2 + ص2 + أس + ب ص + جـ = 0؛حيث:
- أ ، ب ، جـ ثوابت.
يمكنك استخدام طريقة إكمال المربع للتحويل من الصيغة العامة إلى الصيغة القياسية.
أمثلة على المعادلة القياسية للدائرة
السؤال:
- اكتب معادلة الدائرة التي مركزها (4 ، -1)، ونصف قطرها 6. [٣]
الحل:
- الصيغة القياسية: (س - أ)2 + (ص - ب)2 = ر2
- نعوّض المركز بالصورة القياسية (4 ، -1) بدلاً من (أ ، ب)، ونصف القطر 6 بدلاً من (ر)؛ لينتج أنّ:
- (س-4)2 + (ص -(- 1))2 = 62
- (س-4)2 + (ص+1)2 = 36
السؤال:
- باستخدام معادلة الدائرة (س-1) 2+ (ص+2)2 = 9، جد إحداثيات مركز الدائرة وطول نصف قطرها.[٢]
الحل:
- كتابة المعادلة على الصورة القياسية على النحو الآتي:
- (س - 1) 2+ (ص - (- 2))2 = 3 2
- وبذلك فإنّ:
- أ = 1 ، ب =-2 ، ر = 3؛ إذاً مركز الدائرة هو (1 ، -2)، ونصف قطرها 3.
أمثلة على المعادلة العامة للدائرة
السؤال:
- اكتب المعادلة العامة للدائرة التي مركزها (1 ، 2) ونصف قطرها 4 سم.[٤]
الحل:
- المعادلة القياسية لهذه الدائرة هي:
- (س-1)2 + (ص - 2)2 = 4 2، وبفك الأقواس ينتج أنّ: (س2 -2 س+1) + (ص2 -4ص+4) = 16.
- س2 + ص2 -2 س -4 ص - 11 = 0.
السؤال:
- جد إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها للمعادلة: س2 + ص2 + 6 س - 10 ص -2 = 0.[٥]
الحل:
- استخدم طريقة إكمال المربع متبعاً الخطوات الآتية لتحويل المعادلة إلى الصورة القياسية: (س - أ)2 + (ص - ب)2 = ر2 :
- اجعل المتغيرات المتشابهة بجانب بعضا في طرف، وضع الثابت في الطرف الآخر.
- س2 + 6 س + ص2 - 10ص = 2
- أكمل المربع بالنسبة للمتغير س بإضافة (معامل س/2)2 لطرفي المعادلة؛ أي:
- معامل س = 6، ( 6/2)2 = (3)2 = 9.
- س2 + 6 س + 9 + ص2 - 10 ص = 2 + 9.
- أكمل المربع بالنسبة للمتغير ص بإضافة (معامل ص/2)2 لطرفي المعادلة:
- معامل ص = -10، (-10/2)2 =(- 5)2 = 25.
- س2 + 6 س + 9 + ص2 - 10 ص + 25 = 2 + 9 + 25
- بذلك أصبحت المعادلة بصورتها النهائية:
- س2 + 6 س + 9 + ص2 - 10 ص + 25 = 36
- حلّل المعادلة: س2 + 6 س2 + 9 لتصبح (س + 3)2
- حلل المعادلة: ص2 - 10 ص + 25 لتصبح (ص - 5)2
- اكتب المعادلة: س2 + 6 س + 9 + ص2 - 10 ص + 25 = 36 على صورتها بعد التحليل:
- (س+3) 2 + (ص - 5)2 = 36.
- اكتب المعادلة: (س + 3) 2 + (ص - 5)2 = 36 على الصورة القياسية:
- ( س - (-3)) 2 + (ص - 5)2 = 62
- وبذلك فإنّ إحداثيات مركز الدائرة هي: (-3 ، 5)، ونصف قطرها هو 6.
المراجع
- ↑ "Equation of a Circle", varsitytutors.
- ^ أ ب "Equation of Circle", cuemath.
- ↑ "Equation of a circle", basic-mathematics.com.
- ↑ "Equation Of A Circle", byjus, Retrieved 10/9/2021.
- ↑ "What Is the Equation of a Circle?", magoosh math , Retrieved 10/9/2021.
