شرح طريقة تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا

التعريف بالمعادلة الخطية وكيفية تمييزها

يمكن تعريف المعادلة الخطية (بالإنجليزية: Linear Equation) بأنها المعادلة التي تكتب على الصورة القياسية (أس + ب ص + جـ = 0) أو الصورة (أس + ب ص = جـ)، حيث جـ عدد ثابت، ويشار إلى أن هذه المعادلة سميت بالخطية، لأنها تمثل بيانيًا بخطٍ مستقيم على المستوى الديكارتي، ولتمييز المعادلة الخطية عن غيرها من المعادلات يجب التأكد مما يأتي:^[١][٢]

• أن يكون كلٌ من أ و ب و جـ أعداد صحيحة.
• أن يكون أس المتغير س يساوي 1، وأس المتغير ص يساوي 1، أما إذا كان الأس عددًا غير الواحد، فإن المعادلة تكون غير خطية، مع الإشارة إلى أن دم وجود رقم فوق المتغير يعني أن أسه يساوي 1.
• إمكانية كتابة المعادلة على الصورة القياسية (أس + ب ص = جـ).

مثال للتوضيح

هل المعادلة ص = 4 - 3 س خطية أم لا؟

الحل:

بما أن المعادلة تتكون من متغيرين هما س و ص، وأس كلا المتغيرين يساوي 1، ومعاملاتهما أعداد صحيحة، حيث إن معامل المتغير ص هو العدد الصحيح 1، معامل المتغير س هو العدد الصحيح -3، ويمكن كتابتها على الصورة القياسية (أس + ب ص = جـ) كالآتي:

ص = 4 - 3 س

3 س + ص = 4

إذًا المعادلة خطية.

مثال آخر

هل المعادلة 6 س - س ص = 4 خطية أم لا؟

الحل:

لما أن المتغير س تكرر مرتين في المعادلة، فإنها ليست خطية.

كيفية تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا

يوجد طريقتان يمكن استخدامهما لتمثيل المعادلات الخطية بيانيًا، وهما كالآتي:

الطريقة الأولى

يمكن تمثيل المعادلة الخطية بيانيًا على المستوى الديكارتي أو الإحداثي باستخدام المقطع السيني والمقطع الصادي، مع الإشارة إلى أن المقطع السيني هو النقطة التي يقطع فيها الخط المستقيم محور السينات؛ بحيث يكون للمتغير س قيمة معينة عند هذه النقطة، أما قيمة المتغير ص فتكون مساوية للصفر، أما المقطع الصادي فهو النقطة التي يقطع فيها الخط المستقيم محور الصادات؛ بحيث يكون للمتغير ص قيمة معينة عند هذه النقطة، أما قيمة المتغير س فتكون مساوية للصفر، ولتمثيل المعادلة الخطية باستخدام المقطعين السيني والصادي يجب اتباع الخطوات البسيطة الآتية:^[٣]

• كتابة المعادلة الخطية المعطاة في السؤال على الصورة القياسية (أس + ب ص = جـ).
• إيجاد المقطع السيني (س، 0) من خلال فرض أن ص = 0؛ ثم تعويض قيمة ص في المعادلة وإيجاد قيمة المتغير س.
• إيجاد المقطع الصادي (0، ص) من خلال فرض أن س = 0؛ ثم تعويض قيمة س في المعادلة وإيجاد قيمة المتغير ص.
• تحديد موقع المقطعين السيني والصادي على المستوى الديكارتي.
• رسم خط مستقيم يصل بين المقطعين السيني والصادي على المستوى الديكارتي، حيث يمثل هذا الخط المستقيم المعادلة الخطية المطلوبة في السؤال.

الطريقة الثانية

يمكن تمثيل المعادلة الخطية بيانيًا من خلال طريقة تكوين الجدول وفرض قيم لأحد المتغيرين، كالآتي:

• كتابة أحد المتغيرين بدلالة المتغير الآخر في المعادلة الخطية المُراد تمثيلها بيانيًا، على سبيل المثال نكتب معادلة تمثل المتغير ص بدلالة المتغير س.
• فرض مجموعة من القيم لأحد المتغيرين، وليكن س مثلًا.
• تعويض قيم المتغير التي تم افتراضها في الخطوة السابقة في المعادلة التي متمثل أحد المتغيرين بجلالة الآخر، لإيجاد قيم المتغير الثاني.
• تحديد الإحداثيات التي تم إيجادها على المستوى الديكارتي في نقاط صغيرة.
• وصل الإحداثيات ببعضها البعض بخط مستقيم، حيث يمثل هذا الخط المستقيم المعادلة الخطية المراد تمثيلها في السؤال.