نظرة حول حل المعادلات الخطية
يُقصد بحل المعادلة الخطية هو إيجاد قيمة المتغيرات (أيا كان عددها) التي تجعل المعادلة صحيحة،[١] أما عن الصورة العامة للمعادلة الخطية بمتغير واحد فهي:[٢]
- أس + ب = 0، حيث: أ ≠ 0 ، س متغير.
- الصورة العامة للمعادلة الخطية بمتغيرين هي:[٢]
- أس + ب ص + جـ = 0 ، حيث: أ ≠ 0 ، ب ≠ 0 ، س ، ص متغيران.
- الصورة العامة للمعادلة الخطية بثلاثة متغيرات هي:[٢]
- أس + ب ص + جـ ع + د = 0، حيث: أ ≠ 0 ، ب ≠ 0 ، جـ ≠ 0 ، س، ص، ع متغيرات
طرق حل المعادلات الخطية
طريقة حل المعادلة الخطية بمتغير واحد
ليس هناك طريقة ثابتة لحل المعادلة الخطية بمتغير واحد، ولكن ما يجب عليك معرفته أن إشارة المساواة
(=) في المعادلة تعني أن طرفي المعادلة متساويان، وعليك أثناء حلها إجراء العمليات الحسابية ذاتها على طرفي المعادلة بطريقة لا تؤثر على توازن المعادلة، وتتلخص طريقة حل المعادلة بإجراء مختلف العمليات الحسابية بقصد جعل المتغير على أحد أطراف المعادلة، والأعداد الأخرى على الطرف الآخر منها.[٢][٣]
أمثلة على حل المعادلات الخطية بمتغير واحد
- مثال (1): جد قيمة س في المعادلة الآتية: 4 س = 8.[٣]
- الحل :
- تُحلّ بخطوة واحدة هي قسمة طرفي المعادلة على 4 لجعل المتغير س لوحده على طرف المعادلة؛ لأن العدد 4 مضروب بالمتغير س:
- 4 س/4 = 8/4، ومنه: س = 2.
- مثال (2): جد قيمة ص في المعادلة الآتية: ص - 9 = 21.[٣]
- الحل:
- تُحلّ بخطوة واحدة هي جمع العدد 9 إلى طرفي المعادلة؛ لأن العدد 9 مطروح من المتغير ص، وذلك كما يلي:
- ص - 9 + 9 = 21 + 9، ومنه: ص = 30.
- مثال (3): جد قيمة س في المعادلة الآتية: 2س - 7 = 13.[٣]
- الحل:
- المتغير س مضروب بالعدد 2، ومطروح منه العدد 7 ، لذا فإن الخطوة الأولى هي:
- إضافة العدد 7 إلى الطرفين، ثم قسمة الطرفين على العدد 2؛ أي:
- 2س - 7 + 7 = 13 +7
- 2 س = 20
- 2س/2 = 20/2، ومنه: س = 10.
- مثال (4): جد قيمة س في المعادلة الآتية: 3س + 2 = 4 س - 1.[٣]
- الحل:
- طرح 3 س من طرفي المعادلة لجعل المتغير س في طرف لوحده:
- 3س + 2 - 3س = 4 س - 1 - 3س
- 2 = (4 - 3) س -1
- 2 = س - 1
- جمع العدد 1 إلى طرفي المعادلة: 2 + 1 = س - 1 + 1، ومنه: س=3.
كيفية حل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين
هناك طرق متعددة لحل نظام من المعادلات الخطية بمجهولين أو بمتغيرين وهي:[٤]
- التمثيل البياني.
- الحذف.
- التعويض.
- المصفوفات.
طريقة الحذف
لحل نظام من المعادلات الخطية بمتغيرين بالحذف يمكنك اتباع الخطوات الآتية:[٥]
- رتب الحدود المتشابهة في المعادلتين أسفل بعضها.
- حدد أي المتغيرين يسهل حذفه، ثم اجعل معامليه في المعادلتين متساويين في المقدار ومختلفين في الإشارة، وذلك بضرب طرفي إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد أو بالقسمة على عدد معين.
- اجمع المعادلتين للتخلص من المتغير المراد حذفه، وجد قيمة المتغير المتبقي بعد الحذف.
- عوّض قيمة المتغير الناتجة في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة المتغير الآخر.
- التحقق من صحة حلّك إن أردت بتعويض قيمة المتغيرين الناتجين في المعادلتين الأصليتين.
مثال: حل نظام المعادلات الآتي بطريقة الحذف:[٥]
- 2 س + ص = 7
- س - 2 ص = 6
- الحل:
- رقّم المعادلات:
- 2 س + ص = 7 ... (1)
- س - 2ص = 6 .... (2)
خطوات الحل | الحل |
نرتب الحدود المتشابهة في المعادلتين أسفل بعضها. | 2 س + ص = 7 س - 2 ص = 6 |
تحديد أي من المتغيرين يسهل حذفه وليكن ص، ثم جعل معامليه في المعادلتين متساويين في المقدار ومختلفين في الإشارة، وبذلك نضرب المعادلة (1) بالعدد 2. | ( 2 س + ص = 7) ×2 س - 2 ص = 6 4 س +2 ص = 14 س - 2 ص = 6 |
جمع المعادلتين للتخلص من المتغير المراد حذفه وحساب قيمة المتغير س المتبقي بعد الحذف. | 4 س +2 ص = 14 س - 2 ص = 6 5 س = 20 س = 4 |
تعويض قيمة المتغير (س) الناتجة في إحدى المعادلتين (ولتكن الثانية)؛ لإيجاد قيمة المتغير الآخر. | س - 2 ص = 6 4 - 2 ص = 6 -2 ص = 6 - 4 -2 ص = 2 ص = - 1 |
التحقق من صحة حلك بتعويض قيمة المتغيرين الناتجين في المعادلتين الأصليتين . | 2س + ص = 7 س - 2 ص = 6 2× 4 - 1 = 7 4 - (2× -1 ) = 6 8 - 1 = 7 4 + 2 = 6 7 = 7 6 = 6 |
طريقة التعويض
لحل نظام من المعادلات الخطية بمتغيرين بالتعويض عليك اتباع الخطوات الآتية:[٦]
- اجعل إحد المتغيرين موضوعا للقانون في إحدى المعادلتين ثم عوضه في المعادلة الثانية.
- حل المعادلة الناتجة عن التعويض.
- عوّض القيمة العددية التي حصلت عليها لأحد المتغيرات في إحدى المعادلتين لتجد قيمة المتغيرالآخر.
- بإمكانك التحقق من صحة حلك بتعويض قيمة المتغيرين الناتجين في المعادلتين الأصليتين.
- مثال: حل نظام المعادلات الآتي بطريقة التعويض:[٢]
- س - ص = 12
- 2س + ص = 22
- الحل :
- رقّم المعادلات:
- س - ص = 12 ......... (1)
- 2س + ص = 22 .......(2)
خطوات الحل | الحل |
اجعل س موضوعا للقانون في المعادلة الأولى | س = ص + 12 |
نعوض القيمة س = ص + 12 في المعادلة الثانية مكان س | 2 (ص+12) + ص = 22 |
حل المعادلة الناتجة عن التعويض | 2 (ص +12) + ص = 22 2 ص + 24 + ص = 22 3 ص + 24 = 22 3ص = -2 ص = 3/-2 |
عوض القيمة العددية التي حصلت عليها للمتغير ص في إحدى المعادلتين لتجد قيمة المتغيرالآخر (س)، ولتكن المعادلة الأولى | س - ص = 12 س - (-2/3) = 12 س + (2/3) = 12 س = 12 - 2/3 س = 34/3 إذن الحل هو : س = 34/3 ، ص = - 2/3 |
بإمكانك التحقق من صحة حلك بتعويض قيمة المتغيرين الناتجين في المعادلتين الأصليتين | س - ص = 12 ، 2 س + ص = 22 ( 34/3 ) - ( - 2 / 3 ) = 12 ، 2×(34/3) + - (2/3) = 22 (34/3 ) + ( 2 / 3 ) = 12 ، (68/3) - (2/3) = 22 36/3 = 12 ، 66/3 = 22 12 = 12 ، 22 = 22 |
كيفية حل نظام المعادلات الخطية بثلاثة متغيرات
إن أكثر الطرق استخداماً في حل نظام المعادلات الخطية بثلاثة متغيرات هي:[٧]
1 . طريقة المصفوفة العكسية.[٨]
2 . طريقة الحذف.
طريقة الحذف
لحل معادلتين خطيتين بثلاثة متغيرات بالحذف عليك اتباع الخطوات الآتية:[٩]
- رقّم المعادلات ورتب الحدود المتشابهة في المعادلات أسفل بعضها.
- اختر متغيرًا للتخلص منه؛ ثم اختر أي معادلتين من المعادلات الثلاث واحذف المتغير الذي اخترته.
- حدد مجموعة معادلتين مختلفتين مرة أخرى، واحذف المتغير نفسه كما في الخطوة السابقة.
- حل المعادلتين الناتجتين من الخطوتين السابقتين؛ أي جد قيمة المتغير الأول ثم الثاني.
- عوّض الإجابات الناتجة في أي من المعادلات الأصلية لتجد قيمة المتغير الثالث.
- بإمكانك التحقق من صحة حلك بتعويض قيمة المتغيرات الناتجة في المعادلات الأصلية.
- مثال: حل نظام المعادلات الآتي بطريقة الحذف:[٩]
- 4 س - 2 ص + 3 ع = 1
- س + 3 ص - 4 ع = - 7
- 3 س+ ص + 2 ع = 5
- الحل:
- رقّم المعادلات ورتب الحدود المتشابهة في المعادلات أسفل بعضها:
- 4 س - 2 ص + 3 ع = 1 (1)
- س + 3 ص - 4 ع = - 7 (2)
- 3 س+ ص + 2 ع = 5 (3)
خطوات الحل | الحل |
اختر متغيرًا للتخلص منه وليكن س؛ ثم اختر معادلتين (1، 2) من المعادلات الثلاث واحذف المتغير الذي اخترته. | 4 س - 2 ص + 3 ع = 1 س + 3 ص - 4 ع = - 7 نضرب المعادلة الثانية بـ (- 4) 4 س - 2 ص + 3 ع = 1 -4س - 12 ص+16ع = 28 نجمع المعادلتين: 4 س - 2 ص + 3 ع = 1 4س - 12 ص+16 ع = 28 نسمّى المعادلة الناتجة بالرقم (4) -14 ص + 19 ع = 29 ... (4) |
حدد مجموعة معادلتين مختلفتين مرة أخرى (2، 3)، واحذف المتغير نفسه (س) كما في الخطوة السابقة. | س + 3 ص - 4 ع = - 7 3 س+ ص + 2 ع = 5 نضرب المعادلة الأولى بـ (-3) -3س - 9 ص + 12 ع = 21 3 س + ص + 2 ع = 5 نجمع المعادلتين معاً: -8 ص + 14 ع = 26 نسمّي المعادلة الناتجة بالرقم (5) -8 ص + 14 ع = 26 .......... (5) |
حل المعادلتين الناتجتين (4 ، 5 ) وهما من متغيرين، جد قيمة المتغير الأول ثم الثاني . | -14 ص + 19 ع = 29 (4) -8 ص + 14 ع = 26 (5) ضرب المعادلة رقم (4) بـ -8 والمعادلة رقم (5) بـ 14 112 ص - 152 ع = - 232 ( 3 ) -112 ص +196 ع = 364 ( 4 ) نجمع المعادلتين معاً: 44 ع = 132 ع = 3 عوّض قيمة ع في المعادلة رقم 5 وجد قيمة ص . -8 ص + 14×3 = 26 -8 ص = 26 - 42 -8ص = -16 ص = 2 |
عوّض الإجابات الناتجة في أي من المعادلات الأصلية لنجد قيمة المتغير الثالث (س). | س + 3 ص - 4 ع = - 7 س + 3 (2) - 4 (3) = - 7 س + 6 - 12 = -7 س - 6 = -7 س = -7 +6 س = -1 |
بإمكانك التحقق من صحة حلك بتعويض قيمة المتغيرات الناتجة في المعادلات الأصلية. | 4 س - 2 ص + 3 ع = 1 ( 1 ) 4 (- 1) - 2(2) + 3 (3) = 1 -4 - 4 + 9 = 1 -8 + 9 = 1 1 = 1 س + 3 ص - 4 ع = - 7 ( 2 ) -1 + ( 3×2 ) - ( 4×3 ) = - 7 -1 + 6 + - 12 = -7 5 - 12 = -7 -7 = -7 3 س + ص + 2 ع = 5 ( 3 ) (3×-1) + 2 + (2×3) = 5 -3 + 2 + 6 = 5 -1 + 6 = 5 5 = 5 |
المراجع
- ↑ "Linear equations | Lesson", .khanacademy, Retrieved 14/8/2021.
- ^ أ ب ت ث ج "Linear Equations", byjus, Retrieved 14/8/2021.
- ^ أ ب ت ث ج "Solving linear equations with one variable", mathbootcamps, Retrieved 14/8/2021.
- ↑ "Linear Equations in Two Variables", cuemath, Retrieved 15/8/2021.
- ^ أ ب "Solve Systems of Equations by Elimination", mathmatics libretexts, Retrieved 19/8/2021.
- ↑ "Linear Equations: Solutions Using Substitution with Two Variables", cliffsnotes, Retrieved 19/8/2021.
- ↑ "Linear Equations: Solutions Using Elimination with Three Variables", cliffsnotes, Retrieved 15/8/2021.
- ↑ "Solve The Linear Equation In Two Or Three Variables", byjus, Retrieved 15/8/2021.
- ^ أ ب "Linear Equations: Solutions Using Elimination with Three Variables", cliffsnotes.
