كيفية إيجاد قاعدة معادلة المماس
يمكن إيجاد معادلة المماس لمنحنى ما عند نقطة محددة عبر اتباع الخطوات الآتية:[١][٢]
- تحديد المنحنى ومعادلة المنحنى الذي ترغب في إيجاد معادلة المماس له، ونقطة التماس؛ فمثلاً لنفترض أن معادلة المنحنى هي:
- y = x2 + 3x -1، وأن نقطة التماس هي: (3, 1).
- حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
- yَ = 2x + 3
- تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أن:
- fَ(1) = ميل المماس = 2x + 3
- ميل المماس = 2×1 + 3 = 5.
- استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)؛ حيث:
- m هو ميل المستقيم، والنقطة: (x0, y0) هي نقطة تماس المماس مع المنحنى، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
- y - y0 = m(x - x0)
- y -3 = 5(x - 1)
- y -3 = 5x - 5
- y = 5x - 2، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = x2 + 3x -1، عند النقطة (3, 1).
كيفية معرفة الميل من خلال معادلة المماس
يمكن تعريف المماس (بالإنجليزية: tangent) بأنه الخط الذي يلامس المنحنى عند نقطة معينة، وتسمى النقطة التي يلتقي فيها المنحنى والتماس بنقطة التماس، وعادة ما تُعطى الصيغة العامة لمعادلة المماس عل الشكل الآتي:
y = mx + b ، والذي فيه يعبر m عن ميل المماس، وb هو نقطة تقاطع المماس مع محور الصادات؛ فمثلاً إذا كانت معادلة المماس هي: y = 6x + 1، فإنّ ميل المماس هو 6.[٣]
أمثلة على إيجاد قاعدة معادلة المماس
المثال الأول: جد معادلة المماس للمنحنى: y = 5x3 + 2x2 - 3x- 6 عند نقطة التماس: (2- , 1).[٤]
الحل:
- حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
- yَ = 15x2 + 4x - 3.
- تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أنّ:
- ميل المماس = fَ(1) = 15× 1×1 + 4×1 - 3
- ميل المماس = 16
- استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
- y - y0 = m(x - x0)
- y +2 = 16(x - 1)
- y +2 = 16x - 16
- y = 16x - 18، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = 5x3 + 2x2 - 3x- 6 عند نقطة التماس: (2- , 1).
- المثال الثاني: جد معادلة المماس للمنحنى: f(x) = sin (x) عند نقطة التماس: (2/2√, 4/π).[٥]
- الحل:
- حساب المشتقة الأولى لمعادلة المنحنى عبر اشتقاقها بالنسبة لـ x لنحصل على المشتقة الآتية:
- yَ = cos (x).
- تعويض نقطة التماس وهي النقطة التي يمس فيها المماس المنحنى في مشتقة معادلة المنحنى، للحصول على قيمة ميل المماس، وفي المعادلة السابقة ينتج أنّ:
- ميل المماس = 2/2√ = fَ(π/4) = cos (π/4)
- استخدام الشكل العام لمعادلة المستقيم والذي يكون على شكل: y - y0 = m(x - x0)، وتعويض القيم فيها، لينتج أنّ:
- y - y0 = m(x - x0)
- y - √2/2 = √2/2 (x - π/4)
- 2/2√ + y = √2/2 x - √2/2 * π/4
- x-π/4 +1 ) * √2/2 = y)، وهي معادلة المماس للمنحنى: y = sin (x) عند نقطة التماس: (2/2√, 4/π).
المراجع
- ↑ "How to Find the Equation of a Tangent Line", web.ma.utexas.edu, Retrieved 6/8/2023. Edited.
- ↑ "How to Find the Equation of a Tangent Line", mathsathome.com, Retrieved 6/8/2023. Edited.
- ↑ "Tangent Line Calculator", byjus.com, Retrieved 6/8/2023. Edited.
- ↑ "Tangents and Normals", ncl.ac.uk, Retrieved 6/8/2023. Edited.
- ↑ "How to Find the Equation of a Tangent Line", mathsathome.com, Retrieved 6/8/2023. Edited.