حساب أطوال أضلاع المثلث

يمكن حساب أطوال أضلاع المثلث بطرق مختلفة، وهذه الطرق تختلف باختلاف نوع المثلث، وهي كالآتي:[١]


المثلث بشكل عام

يمكن حساب أطوال أضلاع المثلث المجهولة مهما كان نوعه، باستخدام كل من قانوني جيب الزاوية، وجيب تمام الزواية، وهما كالآتي:[١]


  • قانون جيب الزاوية، وهو ينص على أن النسبة بين كل ضلع وجيب الزاوية المقابلة له، متساوٍ لجميع الأضلاع، ويعبّر عنه رياضياً على افتراض أن أضلاع المثلث هي: أ، ب، جـ، وأن الزوايا المقابلة لها على الترتيب هي: أَ، بَ، جـَ على الشكل الآتي:[١]


جا (أَ)/الضلع أ = جا (بَ)/الضلع ب = جا (جـَ)/الضلع جـ.


  • فمثلاً لو كان هناك مثلث طول ضلعيه هو: 5.39سم، وس، وقياس الزوايا المقابلة لها هي: 95 درجة، 54 درجة على الترتيب، فإن قياس الضلع س هو وفق القانون السابق: جا (95)/5.39 = جا (54)/س = 0.996/5.39 = 0.809/س، وبالضرب التبادلي ينتج أن: س= 4.38 سم.[١]


  • وبشكل عام يُستخدم قانون جيب الزاوية عادةً عند معرفة طول أحد الأضلاع وقياس الزاوية المقابلة له، ومعرفة قياس الزاوية المقابلة للضلع المجهول، لحساب قياس ذلك الضلع.[٢]


  • قانون جيب تمام الزاوية، ويعبّر عنه رياضياً على افتراض أن أضلاع المثلث هي: أ، ب، جـ، وأن الزوايا المقابلة لها على الترتيب هي: أَ، بَ، جـَ على الشكل الآتي:[١]


مربع الضلع الأول (أ) = مربع الضلع الثاني (ب) + مربع الضلع الثالث (جـ) - 2×الضلع الثاني (ب)×الضلع الثالث (جـ)×جتا (الزاوية المحصورة بين الضلعين ب،جـ).


  • فمثلاً لو كان هناك مثلث طول ضلعيه هو: 10 سم، 9 سم، والضلع الثالث هو س، وقياس الزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين والمقابلة للضلع المجهول هو 47 درجة، فإن قياس الضلع س هو وفق القانون السابق: س2 = 10×10 + 9×9 + 2×10×9×جتا(47) = 58.24، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: س= 7.63 سم.[١]


  • وبشكل عام يُستخدم قانون جيب تمام الزاوية عادة عند معرفة أطوال ضلعين من أضلاع المثلث والزاوية المحصورة بينهما لحساب طول الضلع الثالث.[٢]


المثلث قائم الزاوية

يمكن استخدام طرق عدة لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث القائم وهو المثلث الذي فيه زاوية قائمة قياسها 90 درجة، وهذه الطرق هي:[٣]


  • نظرية فيثاغورس: يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول أي ضلع من الأضلاع المجهولة في المثلث القائم عند معرفة طول الضلعين الآخرين، إذ تنص هذه النظرية على أن مربع الوتر وهو الضلع الأطول في المثلث القائم والمقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فيه، أي أن:[٣]


مربع الوتر = مربع الضلع الأول (الارتفاع)+مربع الضلع الثاني (القاعدة).


  • فمثلاً لو كان هناك مثلث طول وتره هو: 20 سم، وطول أحد ضلعيه الآخرين هو 10 سم، فإنّ طول الضلع الآخر عند تطبيق نظرية فيثاغورس هو: 20×20 = 10×10 + مربع الضلع الآخر، ومنه: طول الضلع الآخر = (400-100)√ = 300√ = 17.3 سم.[٣]


  • النسب المثلثية: يمكن استخدام النسب المثلثية الثلاث التي يمكن تطبيقها على أية زاوية، وهي جيب الزاوية (جا)، جيب تمام الزاوية (جتا)، وظل الزاوية (ظا)، لحساب الأضلاع المجهولة في المثلث القائم عند معرفة قيمة إحدى زواياه غير القائمة، وذلك بتعويض القيم المعلومة في أحد قوانين النسب المثلثية وهي:[٢]


  • جيب الزاوية أو جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/طول الوتر.
  • جيب تمام الزاوية أو جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية/طول الوتر.
  • ظل الزاوية أو ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/ الضلع المجاور للزاوية.


  • فمثلاً لو كان هناك مثلث قياس إحدى زواياه هو 62 درجة، وطول الضلع المجاور لها هو 45 سم، فلحساب طول الضلع المقابل لهذه الزاوية يمكن تطبيق قانون ظل الزاوية، كما يلي: ظا (62) = طول الضلع المقابل للزاوية (62) / طول الضلع المجاور للزاوية (62) = 1.88 = طول الضلع المقابل للزاوية (62)/45، ومنه: طول المقابل للزاوية = 45×1.88 = 84.6 سم.[٣]

المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح Andrew Lee (16-2-2021), "How To Find the Third Side of a Triangle in 3 Ways", tutorme.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت EUGENE BRENNAN, "How to Find the Missing Sides and Angles of a Triangle: Pythagoras, Sine and Cosine Rule", owlcation.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث "Right Triangles and the Pythagorean Theorem", courses.lumenlearning.com, Retrieved 8-7-2021. Edited.