الصيغة العامة لأي معادلة تربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equations) في الرياضيات هي ax2 + bx + c = 0، حيث a و b و c عبارة عن قيم معروفة، ولا يمكن أن تكون قيمة a مساوية للصفر أبدًا، وذلك لأنه إذا كانت a مساوية للصفر، فإن الحد ax2 سيكون صفر أيضًا، وعندها لن تكون المعادلة معادلةً تربيعية.[١]
تسمى المعادلة التربيعية في الرياضيات أيضًا باسم المعادلة من الدرجة الثانية.
حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال المربع
يوجد عدة طرق يمكن استخدامها لحل المعادلات الربيعية، ومن أبرزها حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع (بالإنجليزية: Completing the Square)، وذلك من خلال اتباع الخطوات البسيطة الآتي:[٢][٣][٤]
- تحويل المعادلة التربيعة من الصيغة العامة؛ وهي ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة x2 + bx = c، من خلال قسمة جميع حدود المعادلة على المعامل a في حال كانت قيمته لا تساوي واحداً، ونقل الحد الثابت c إلى الطرف الآخر للمعادلة بعد تغيير إشارته.
- إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة (يمين ويسار إشارة المساواة)، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2) ليصبح شكل المعادلة كالآتي:
- 2(b/2) + x2 + bx + (b/2)2 = c
- تبسيط المعادلة وتحسين شكلها، من خلال جمع الحدين 2(b/2) + c ووضع قيمتهما.
- تحليل الصيغة الآتية x2 + bx + (b/2)2 لتصبح على الشكل 2(x + n) حيث x هي نتيجة جذر الحد الأول أي x2، والإشارة التي في المنتصف هي إشارة الحد الثانية أيbx، أما n فهي نتيجة جذر الحد الثالث وهو 2(b/2).
- حل المعادلة التربيعية بشكل تقليدي، لإيجاد جميع حلولها.
أمثلة على حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع
فيما يأتي أمثلة توضح كيفية حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة إكمال المربع:[٢][٤]
حل المعادلة التربيعية الآتية باستخدام طريقة إكمال المربع:
x2 + 8x + 5 = 0
خطوات الحل:
تحويل المعادلة التربيعة من الصيغة العامة؛ وهي ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة x2 + bx = c، كالآتي:
x2 + 8x + 5 = 0
5 - x2 + 8x + 5 - 5 = 0
5 - x2 + 8x + 5 - 5 = 0
5- = x2 + 8x
إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2) كالآتي:
2(b/2) = 2(8/2)
= 2(4) = 16
إذا يجب إضافة 16 إلى طرفي المعادلة ليصبح شكلها كالآتي:
16 + 5- = 16 + x2 + 8x
تبسيط المعادلة وتحسين شكلها كالآتي:
16 + 5- = 16 + x2 + 8x
11 = 16 + x2 + 8x
تحليل الصيغة الآتية x2 + bx + (b/2)2 لتصبح على الشكل 2(x + n) حيث x هي نتيجة جذر الحد الأول أي x2، والإشارة التي في المنتصف هي إشارة الحد الثانية أيbx، أما n فهي نتيجة جذر الحد الثالث وهو 2(b/2)، كالآتي:
11 = 16 + x2 + 8x
11 = 2(x + 4)
حل المعادلة التربيعية بشكل تقليدي، وهنا يجب أخذ الجذر التربيعي للطرفين كالآتي:
11√± = 2(x + 4)√
11√± =2(x + 4)√
11ñ =(x + 4)
الحل الأول:
11√+ =x + 4
11√+ 4- =x
3.32 + 4- =x
x = - 0.68
الحل الثاني:
11√- =x + 4
11√- 4- =x
3.32 - 4- =x
x = - 7.32
حل المعادلة التربيعية الآتية باستخدام طريقة إكمال المربع:
x2 + 6x + 7 = 0
تحويل المعادلة التربيعة من الصيغة العامة؛ وهي ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة x2 + bx = c، كالآتي:
x2 + 6x + 7 = 0
7 - x2 + 6x + 7 - 7 = 0
7 - x2 + 6x + 7 - 7 = 0
7- = x2 + 6x
إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2) كالآتي:
2(b/2) = 2(6/2)
= 2(3) = 9
إذا يجب إضافة 9 إلى طرفي المعادلة ليصبح شكلها كالآتي:
9 + 7- = 9 + x2 + 6x
تبسيط المعادلة وتحسين شكلها كالآتي:
9 + 7- = 9 + x2 + 6x
2 = 9 + x2 + 6x
تحليل الصيغة الآتية x2 + bx + (b/2)2 لتصبح على الشكل 2(x + n) حيث x هي نتيجة جذر الحد الأول أي x2، والإشارة التي في المنتصف هي إشارة الحد الثانية أي bx، أما n فهي نتيجة جذر الحد الثالث وهو 2(b/2)، كالآتي:
2 = 9 + x2 + 6x
2 = 2(x + 3)
حل المعادلة التربيعية بشكل تقليدي، وهنا يجب أخذ الجذر التربيعي للطرفين كالآتي:
2√± = 2(x + 3)√
2√± = 2(x + 3)√
2ñ = (x + 3)
الحل الأول:
2√+ = x + 3
2√+ 3- = x
1.4 + 3- = x
x = - 1.6
الحل الثاني:
2√- = x + 3
2√- 3- = x
1.4 - 3- = x
x = - 4.4
تعرف على طريقة حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام من خلال قراءة المقال الآتي: القانون العام لحل المعادلة التربيعية، أو باستخدام طريقة تحليل المعادلة التربيعية من خلال قراءة المقال الآتي: خطوات تحليل المعادلة التربيعية.
المراجع
- ↑ "Quadratic Equations", mathsisfun, Retrieved 20/11/2022. Edited.
- ^ أ ب "Solving Quadratic Equations by Completing the Square ", brainfuse, Retrieved 20/11/2022. Edited.
- ↑ "Completing the Square", study, Retrieved 20/11/2022. Edited.
- ^ أ ب "Completing the Square", mathsisfun, Retrieved 20/11/2022. Edited.
