ما هو مفهوم التكامل؟
التكامل (بالإنجليزية: Integration)، هو أحد موضوعي علم التفاضل والتكامل (بالإنجليزية: Calculus) الرئيسيين في الرياضيات، حيث تستخدم التكاملات لإيجاد العديد من الكميات المهمة في الرياضيات والفيزياء مثل المساحات، والأحجام، والإزاحة، وغيرها.[١]
يُعرف التكامل رياضيًا على أنه العملية العكسية للتفاضل، فإذا كان التفاضل يقوم على إيجاد معدل تغير دالة ما بالنسبة لإحدى متغيرات هذه الدالة، فإن التكامل هو إيجاد الدالة إذا كان معدل تغير الدالة أو مشتقتها معلومًا، ويمكن تعريف التكامل هندسيًا على أنه مقدار المساحة تحت منحنى دالة ما.[٢]
أنواع التكامل في الرياضيات
يُقسم التكامل في الرياضيات إلى نوعين، ويكون ذلك حسب وجود حدود التكامل أو عدم وجودها:[١]
التكامل المحدود
التكامل المحدود (بالإنجليزية: Definite Integral)، هو التكامل الذي يكون فيه الحدان العلوي والسفلي معلومين، ويتم تمثيل التكامل المحدود على النحو التالي:
- ∫ ق(س) = ص، حيث يمثل الحد العلوي للتكامل (أ)، والحد السفلي (ب)، أو:
- f(x) = y ∫، حيث يمثل الحد العلوي للتكامل (a)، والحد السفلي (b).
وتساوي نتيجة هذا التكامل نتيجة تعويض الحد العلوي في المعادلة الناتجة من التكامل مطروحًا من نتيجة تعويض الحد السفلي في المعادلة، وبالرموز يُعبر عن الناتج كالتالي:
- ص(أ) - ص(ب) أو y(a) - y(b).
التكامل غير المحدود
التكامل غير المحدود (بالإنجليزية: Indefinite Integral)، هو التكامل الذي يكون فيه الحدان العلوي والسفلي غير موجودين، ويتم تمثيل التكامل غير المحدود على النحو الآتي:
- ∫ هـ'(س) دس = هـ (س) + جـ أو f(x) = F(x) + C ∫
حيث تمثل هـ'(س)/f(x) مشتقة هـ (س)/F(x) على الترتيب، ويمثل جـ/C ثابت التكامل، وتكون نتيجة هذا التكامل معادلة رياضية.
قوانين التكامل
فيما يلي بعض قوانين التكامل الأكثر شيوعًا واستخدامًا:[٣]
- تكامل العدد الثابت بالنسبة للمتغير س = العدد الثابت×المتغير س + جـ، وبالرموز: ∫ 1. دس = س + جـ.
- تكامل المتغير س مرفوعًا للقوة ن = (المتغير س مرفوعًا للقوة (ن+1) مقسومًا على (ن+1) + جـ، وبالرموز: ∫ س^ن. دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + جـ.
- تكامل أي عدد مقسوم على المتغير س = العدد نفسه×اللوغاريتم الطبيعي للمتغير س + جـ، وبالرموز: ∫ 1/ س . دس = لوهـ س + جـ.
- تكامل العدد النيبيري (هـ) مرفوعًا للقوة س = العدد النيبيري (هـ) مرفوعًا للقوة س + جـ، وبالرموز: ∫ هـ^س. دس = هـ^س+ جـ.
- تكامل عدد ثابت مرفوعًا للقوة س = العدد الثابت مرفوعًا للقوة س × اللوغاريتم الطبيعي للعدد الثابت + جـ، وبالرموز: ∫ أ^س. دس = أ^س×(1/ لوهـ (أ)) + جـ.
- تكامل اللوغاريتم الطبيعي للمتغير س = ((المتغير س×اللوغاريتم الطبيعي للمتغير س) - المتغير س) + جـ، وبالرموز: ∫ لوهـ (س). دس = (س× لوهـ (س)) - س + جـ
- تكامل جيب الزاوية (س) = - جيب تمام الزاوية (س) + جـ، وبالرموز: ∫ جا(س). دس = - جتا(س) + جـ
- تكامل جيب تمام الزاوية (س) = جيب الزاوية (س) + جـ، وبالرموز: ∫ جتا(س). دس = جا(س) + جـ
مسائل على حساب التكامل
فيما يلي بعض المسائل التوضيحية على حساب التكامل:
ما قيمة ∫ (س^2). دس، إذا كان الحد السفلي للتكامل يساوي 0، والحد العلوي يساوي 3؟[١]
اختيار القانون المناسب للمسألة وهو:
- ∫ س^ن. دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + جـ
- استبدال قيمة (ن) بالأس (2)، لتصبح النتيجة: (س^(2+1) / (2+1)).
- تبسيط النتيجة الناتجة في الخطوة السابقة: س^3 / 3.
- تعويض حدود التكامل في المعادلة الناتجة من الخطوة السابقة، وذلك عن طريق إيجاد ناتج تعويض الحد العلوي في المعادلة مطروحًا من ناتج تعويض الحد السفلي في المعادلة، لتصبح النتيجة: 9 - 0 = 9.
ما قيمة ∫ (س^4 - 3*س^2 - س -1). دس؟
لإيجاد قيمة التكامل يتم استخدام القانونين الآتيين:
- ∫ س^ن. دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + جـ
- ∫ 1. دس = س + جـ
- تطبيق القانونين السابقين على كل حد من حدود المعادلة:
- ∫ س^4 .دس: (س^(4+1) / (4+1)) + جـ = (⅕)*س^5 + جـ.
- ∫ س^3 .دس: (س^(3+1) / (3+1)) + جـ = س^3 + جـ.
- ∫ س^2. دس: (س^(2+1) / (2+1)) + جـ = (½)*س^2 + جـ.
- ∫ 1 دس: س + جـ = س + جـ.
- جمع الناتج من الخطوة السابقة لتصبح النتيجة: (⅕)*س^5 +س^3 + (½)*س^2 + س + جـ
ما قيمة ∫(س)^0.5.دس؟
استخدام القانون المناسب وهو:
- ∫ س^ن. دس = (س^(ن+1) / (ن+1)) + جـ
- استبدال قيمة (ن) بـ الأس (0.5)، لتصبح النتيجة: (1/1.5)*س^1.5 + جـ.
المثال الرابع: ما قيمة ∫ جتا(س)+ س. دس؟[٤]
استخدام القوانين المناسبة وهي:
- ∫ جتا(س). دس = جا(س) + جـ
- ∫ س^ن دس. = (س^(ن+1) / (ن+1)) + جـ
- تطبيق القانونين السابقين على كل حد من حدود المعادلة:
- ∫ جتا(س) = جا(س) + جـ.
- ∫ س = (س^(1+1) / (1+1)) + جـ = (½) س^2 + جـ.
- جمع حدود المعادلة لتصبح النتيجة: جا(س) + (½) س^2 + جـ.
ما قيمة ∫ هـ^ص - 3 .دص؟[٤]
لإيجاد قيمة التكامل يتم استخدام القانونين الآتيين:
- ∫ 1 .دس = س + جـ.
- ∫ هـ^ س . دس = هـ^ س+ جـ.
- تطبيق القانونين السابقين على كل حد من حدود المعادلة:
- ∫ هـ^ ص = هـ^ ص+ جـ.
- ∫ 3 = 3*ص + جـ.
- جمع حدود المعادلة، لتصبح النتيجة: هـ^ ص- 3*ص + جـ.
المراجع
- ^ أ ب ت - Inverse Process of Differentiation "integration", byjus. Edited.
- ↑ "integration", cliffsnotes. Edited.
- ↑ "Integration Formulas", rochester. Edited.
- ^ أ ب "integration", mathsisfun. Edited.
