ما هي الكسور الجبرية؟

يمكن تعريف الكسور الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Fractions) في الرياضيات بأنها الكسور التي يحتوي بسطها أو مقامها أو كلاهما على متغيرات أو كثيرات حدود، بمعنى أن البسط والمقام لا يكونان عبارة عن أرقام فقط، وإنما قد يحتوي أحدهما أو كلاهما على متغيرات مجهولة القيمة، مع ضرورة التنويه على أهمية أن لا تكون قيمة المقام في الكسور الجبرية صفرًا مطلقًا.[١]


ما الفرق بين الكسور العادية والكسور الجبرية؟

الكسور العادية يكون كل من بسطها ومقامها عبارة عن أرقام عادية حقيقية، أما الكسور الجبرية، فإن بسطها أو مقامها أو كلاهما عبارة عن كثيرات حدود أي أنها تحتوي على متغيرات، فمثلًا، الكسر 5/7 هو كسر عادي؛ لأن بسطه ومقامه عبارة عن أرقام عادية، أما الكسر 5/x فهو كسر جبري؛ لأن مقامه عبارة عن متغير، بشرط أن لا تكون قيمة x مساوية للصفر، حتى لا يكون المقام صفرًا، والكسر (4-x) /2 هو كسر جبري أيضًا؛ لأن بسطه يحتوي على متغير، والكسر (2x + 1) / (x -1) هو كسر جبري أيضًا؛ لأن كلاً من البسط والمقام يحتويان على متغيرات، بشرط أن لا تكون قيمة x مساوية للعدد 1، حتى لا يكون المقام صفرًا.[١]


أمثلة على الكسور الجبرية:[٢]

  • (3x + 2) / 5 لأن بسطه عبارة عن كثير حدود.
  • (11a + 7) / 13 لأن بسطه عبارة عن كثير حدود.
  • 5 / (x2 + 1) لأن مقامه عبارة عن كثير حدود.
  • 9 / (2m2 + 5) لأن مقامه عبارة عن كثير حدود.
  • (x2 + 2x + 1) / 1 لأن بسطه عبارة عن كثير حدود.
  • (2a2 + 5a + 1) / 3 لأن بسطه عبارة عن كثير حدود.
  • 1 / (b2 + 7b + 3) لأن مقامه عبارة عن كثير حدود.
  • 10 / (3n2 + 5n + 9) لأن بسطه عبارة عن كثير حدود.
  • (x + 3) / (x2 – 6x + 9) لأن كلاً من بسطه ومقامه عبارة عن كثيرات حدود.
  • (y + 15) / (5y2 + 9y + 10) لأن كلاً من بسطه ومقامه عبارة عن كثيرات حدود.


هل يمكن إجراء العمليات الحسابية على الكسور الجبرية؟

يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية على الكسور الجبرية، وهي الجمع والطرح والضرب والقسمة؛ بنفس الطريقة التي نستخدمها في الكسور العادية البسيطة، والأمثلة الآتية توضح ذلك:[٣]


أمثلة على جمع الكسور الجبرية


السؤال:

أوجد ناتج عملية الجمع الآتية:

x/2 + y/5 =؟



الحل:

أولًا يجب توحيد المقامات بالطريقة المعتادة، وبعدها نجري عملية الجمع، كما في طريقة جمع الكسور العادية، لنحصل على الآتي:

5x/10 + 2y/10

= (5x + 2y)/10





السؤال:

أوجد ناتج عملية الجمع الآتية:

4 /(x-3) + 3/(x+4) =؟



الحل:

أولًا يجب توحيد المقامات بالطريقة المعتادة، وبعدها نجري عملية الجمع، كما في طريقة جمع الكسور العادية، لنحصل على الآتي:

((x+4)(4) + (3)(x−3)) / (3×4)

= (4x+16 + 3x−9) / 12

= (7x+7) / 12





مثال على طرح الكسور الجبرية


السؤال:

أوجد ناتج عملية الطرح الآتية:

؟ =(x + 2)/x - x/(x + 2)


الحل:


أولًا يجب توحيد المقامات بالطريقة المعتادة، وبعدها نجري عملية الطرح، كما في طريقة طرح الكسور العادية، لنحصل على الآتي:

((x+2)(x−2) − (x)(x)) / (x(x−2))

= ((x2 − 22) − x2) / (x2 − 2x)

= -4/ (x2 − 2x)




مثال على ضرب الكسور الجبرية


السؤال:

أوجد ناتج عملية الضرب الآتية:

3x/ (x−2) × x/3 =؟



الحل:

من خلال ضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام، كما في طريقة ضرب الكسور العادية، نحصل على الآتي:

(3x)(x) / 3(x−2)

= 3x2 /3(x−2)

= x2 /x−2




مثال على قسمة الكسور الجبرية


السؤال:

أوجد ناتج عملية القسمة الآتية:

3y2 / (x+1) ÷ y/2=؟



الحل:

من خلال تحويل إشارة القسمة إلى إشارة ضرب، وقلب الكسر الجبري الثاني، كما في طريقة قسمة الكسور العادية، نحصل على الآتي:

3y2 / (x+1) × 2/y

= (3y2)(2) / (x+1)(y)

= 6y2 /(x+1)(y)

= 6y / x+1









المراجع

  1. ^ أ ب "What Are Algebraic Fractions?", cliffsnotes, Retrieved 12/6/2023. Edited.
  2. ↑ "Algebraic Fractions", math-only-math, Retrieved 12/6/2023. Edited.
  3. ↑ "Fractions in Algebra", mathsisfun, Retrieved 12/6/2023. Edited.