عدد أقطار المكعب

للمكعب 12 قطر وجه (بالإنجليزية: Face Diagonals) بمعدل قطرين لكل وجه من وجوهه الستة المربعة المتطابقة، إذ يعرف قطر الوجه بأنه الخط المستقيم الواصل بين الرأسين غير المتقابلين للوجه نفسه، كما أنّ للمكعب 4 أقطار رئيسية (فضائية) (بالإنجليزية: Space Diagonals) وهي تلك الخطوط المستقيمة الواصلة بين كل رأسين غير متقابلين في المكعب نفسه، وتمر خلاله من الداخل، وبشكل عام يُعرف المكعب بأنه شكل ثلاثي الأبعاد له 12 ضلعاً أو حرفاً متساوياً في الطول،[١] ويبلغ العدد الإجمالي لأقطاره 16 قطر وهو مجموع الأقطار الفضائية 4 وأقطار الوجه 12.[٢]


كيفية حساب أطوال أقطار المكعب

يمكن حساب أطوال أقطار المكعب عن طريق اتباع القوانين الآتية:[١]


  • طول قطر الوجه للمكعب = طول ضلع المكعب×2√.
  • طول الأقطار الفضائية للمكعب = طول ضلع المكعب×3√.


يجدر بالذكر هنا أن اشتقاق القوانين السابقة كان على على النحو الآتي:

  • يشكل قطر الوجه لكل وجه من الوجوه وتر مثلث قائم الزاوية أضلاعه هي: (طول ضلع المكعب، طول ضلع المكعب، قطر الوجه)، كما في الشكل أدناه، وبتطبيق نظرية فيثاغورس عليه ينتج أنّ:
  • مربع طول قطر الوجه للمكعب = مربع طول ضلع المكعب + مربع طول ضلع المكعب = 2×مربع طول ضلع المكعب، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أنّ:
  • طول قطر الوجه للمكعب = طول ضلع المكعب×2√.


كم عدد أقطار المكعب، وكيفية حساب طولها


إذا افترضنا أن طول ضلع المكعب هو (أ)، وأن طول الوجه له (ب)، وأن طول القطر الفضائي له هو (ج)، وهذه الأقطار تشكل مع بعضها مثلثاً قائم الزاوية أضلاعه هي: (أ، ب، ج)، كما في الشكل أدناه، وبتطبيق نظرية فيثاغورس عليه ينتج أنّ:[١]

  • 
  • وبتعويض قيمة قطر الوجه = طول ضلع المكعب×2√ = 2√أ في المعادلة السابقة ينتج أنّ:
  • 2أ+ (2√أ)2= 2ج، ومنه:

  • d2 = a2+ 2a2 = 3a2، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن:
  • d = √3×a = طول ضلع المكعب×3√.

كم عدد أقطار المكعب، وكيفية حساب طولها


أمثلة على حساب أطوال أقطار المكعب


السؤال:

احسب طول قطر المكعب إذا علمت أن طول ضلعه هو 5 سم.[٣]

الحل:
  • طول قطر الوجه للمكعب = طول ضلع المكعب×2√ = 5×2√ = 2√5 سم.
  • طول الأقطار الفضائية للمكعب = طول ضلع المكعب×3√ = 5×3√ = 3√5 سم.





السؤال:

إذا علمت أن طول قطر المكعب الفضائي هو 3√8 احسب طول ضلعه.[١]

الحل:
  • طول الأقطار الفضائية للمكعب = طول ضلع المكعب×3√، ومنه:
  • 3√8 = طول ضلع المكعب×3√، ومنه:
  • طول ضلع المكعب = 8سم.





السؤال:

احسب طول قطر وجه المكعب إذا علمت أن طول ضلعه هو 6 م.[١]

الحل:

طول قطر الوجه للمكعب = طول ضلع المكعب×2√ = 6×2√ = 2√6 م = 8.49 م.




السؤال:

احسب طول قطر المكعب إذا علمت أن طول ضلعه هو 10 سم.[٤]

الحل:
  • طول قطر الوجه للمكعب = طول ضلع المكعب×2√ = 10×2√ = 2√10 سم.
  • طول الأقطار الفضائية للمكعب = طول ضلع المكعب×3√ = 10×3√ = 3√10 سم = 17.34 سم.





المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج "Diagonal of a Cube Formula", www.cuemath.com, Retrieved 19-8-2021. Edited.
  2. ↑ "How many diagonals does a cube have?", mathcentral.uregina.ca, Retrieved 19-8-2021. Edited.
  3. ↑ "Diagonal of a Cube Formula", byjus.com, Retrieved 19-8-2021. Edited.
  4. ↑ "Cube", www.vedantu.com, Retrieved 19-8-2021. Edited.