ما هي الدالة الناطقة؟

تعرف الدالة الناطقة أيضًا باسم الدالة الكسرية (بالإنجليزية: Rational Function)، وهي دالة تكون على شكل بسط ومقام، حيث يكون كل من البسط والمقام فيها عبارة عن اقترانات كثيرة الحدود (بالإنجليزية: Polynomial Functions)، ويمكن تعريفها أيضًا بأنها النسبة بين اقتران كثير حدود إلى اقتران كثير حدود آخر، وتكتب الدالة الناقطة على الصورة الآتية:[١]


الدالة الناقطة = (اقتران كثير حدود) / (اقتران كثير حدود آخر)

والأفضل التعبير عنها بالرموز كالآتي:

f(x) = p(x)/q(x)

حيث إن:

p(x)، q(x) عبارة عن اقترانات كثيرة الحدود.

ويشترط أن لا يكون الاقتران الذي في المقام مساويًا للصفر؛ أي أنه يجب أن يكون q(x) ≠ 0.


أمثلة على الدوال الناطقة أو الدوال الكسرية:

المثال الأول:

f(x) = (x2 + x - 2) / (2x2 - 2x - 3)

الاقتران f(x) يعد دالة ناطقة؛ لأنه عبارة عن نسبة بين اقتران كثير حدود (البسط (x2 + x - 2)) إلى اقتران كثير حدود آخر (المقام (2x2 - 2x - 3)).


المثال الثاني:

h(x) = 1/(3x+1)

الاقتران h(x) يعد دالة ناطقة؛ لأنه عبارة عن نسبة بين اقتران كثير حدود (البسط (1) حيث إن الثوابت تعد اقترانات كثيرة حدود أيضًا) إلى اقتران كثير حدود آخر (المقام (3x+1)).


ما هي قاعدة اشتقاق الدالة الناطقة؟

يمكن اشتقاق الدوال الكسرية (بالإنجليزية: Derivatives of Rational Functions) أو الدوال الناطقة باستخدام قاعدة ثابتة كغيرها من الدوال الأخرى في الرياضيات، وذلك كالآتي:[٢][٣]




مشتقة الدالة الناقطة = (مشتقة البسط × المقام) - (مشتقة المقام × البسط) / المقام2



وبالرموز:

fَ(x) = pَ(x)q(x) - qَ(x)p(x) / q(x)2




ويمكن التعبير عنها بالرموز كالآتي:

إذا قلنا أن

f(x) = u/ v

فإن:

fَ(x) = uَv - vَu / v2


يشار إلى أن قاعدة اشتقاق الدالة الناطقة هي نفسها قاعدة اشتقاق حاصل قسمة دالتين، لكن الفرق هنا أن الدالة الناطقة بسطها ومقامها عبارة عن اقترانات كثيرة حدود، وليست اقترانات أخرى.


أمثلة حسابية على اشتقاق الدالة الناقطة

فيما يأتي أسئلة على كيفية اشتقاق الدالة الناطقة مع إجاباتها:[٢][٣]


السؤال:

أوجد مشتقة الدالة الناطقة الآتية:

(A = (x + 3)/ (x -1

الحل:

مشتقة الدالة الناقطة = (مشتقة البسط × المقام) - (مشتقة المقام × البسط) / المقام2

Aَ = (1)(x-1) - (1)(x+3)/ (x-1)2

(Aَ = (x -1 -x -3) / (x2 - 2x +1

(Aَ = (x -1 -x -3) / (x2 - 2x +1

(Aَ = -4/ (x2 - 2x +1



السؤال:

أوجد مشتقة الدالة الناقطة h(x) الآتية:

 h(x) = (3x3 – x -2) /2x


الحل:

مشتقة الدالة الناقطة = (مشتقة البسط × المقام) - (مشتقة المقام × البسط) / المقام2

2(2x) / (2)(3x3 – x -2) - (2x)hَ(x)= (9x2 -1)

hَ(x) = (18x3 - 2x) - (6x3 -2x - 4) / (2x)2

hَ(x) = 18x3 - 2x - 6x3 +2x + 4 / 4x2

hَ(x) = 3x3 +1 / x2




المراجع

  1. ↑ "Rational Function", cuemath, Retrieved 5/9/2022. Edited.
  2. ^ أ ب "Derivatives of Rational Functions", brilliant, Retrieved 5/9/2022. Edited.
  3. ^ أ ب "5.1 Derivatives of Rational Functions", math.mit, Retrieved 5/9/2022. Edited.