تعريف الأسطوانة

تُعرف الأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder) بأنها شكل مغلق ثلاثي الأبعاد، يتكون من قاعدتين دائريتين متوازيتين متصلتين بسطح منحنٍ، ويمر خط فيها يصل بين مركز القاعدتين ويسمى محور الأسطوانة،[١] أما عن المسافة الواصلة بين القاعدتين والعمودية عليهما فتمثل الأرتفاع،[٢] أما عن المسافة الواصلة بين المحور والسطح الخارجي للأسطوانة فتمثل نصف القطر.[٣]


أنواع الأسطوانة

هناك عدة أنواع للأسطوانة ومنها:[٤][٥]

  • الأسطوانة القائمة: هي التي يكون المحور فيها عمودياً على القاعدة.
  • الأسطوانة المائلة: هي التي تميل جوانبها عن القاعدة؛ أي هي التي تكون فيها الجوانب غير عمودية على القاعدة.
  • الأسطوانة المجوّفة: تتكون من أسطوانتين تحيط إحداهما بالأخرى، ويكون فيهما المحور عمودياُ على القاعدة، وهي تختلف عن الأسطوانة الدائرية القائمة بأنها مجوفة أي أن هناك فراغاً بداخلها.


خصائص الأسطوانة

تتميز الأسطوانة بعدة خصائص منها:[٦][٧]

  • قاعدتا الأسطوانة متطابقتان ومتوازيتان.
  • اذا كان محور الأسطوانة يشكل زاوية قائمة مع القاعدة فإن الأسطوانة عندها تُعرف بالأسطوانة القائمة، بحيث تكون القاعدتان فوق بعضهما البعض تماماً.
  • اذا كان محور الأسطوانة لا يشكل زاوية قائمة مع القاعدة فإن الأسطوانة عندها تُعرف بالأسطوانة المائلة، ولا تكون القاعدتان في هذه الحالة فوق بعضهما البعض تماماً.
  • لا تحتوي الأسطوانة على أي رأس أو زاوية.
  • يمكن لقاعدة الأسطوانة أن تكون دائرية أو بيضاوية.


القوانين المتعلقة بالأسطوانة

يُمكن حساب مساحة وحجم الأسطوانة كالآتي:


قوانين حساب مساحة الأسطوانة

عند النظر من الأعلى للأسطوانة فإنها تبدو وكأنها دائرة، وعند النظر إليها من الجانب فإنها تبدو وكأنها مستطيل، وبناءً على ذلك يمكن حساب مساحة الأسطوانة كالآتي:[٨][٩][١٠]


  • المساحة الجانبية: هي عبارة عن مساحة السطح المنحني للأسطوانة والموجود بين القاعدتين، وهو عبارة عن مستطيل لذا يمكن حساب المساحة الجانبية عن طريق ضرب عرض المستطيل بطوله؛ حيث يتمثل عرض المستطيل بارتفاع الأسطوانة (ع)، أما طوله فيتمثل بمحيط إحدى القاعدتين الدائريتين، ويمكن التعبير عن ذلك رياضياً كما يلي:
  • المساحة الجانبية للأسطوانة = (2 × π × نصف قطر القاعدة) × الارتفاع، وبالرموز:
  • المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع.


  • المساحة الكلية: تتمثل بمجموع مساحة السطح المنحني للأسطوانة، ومساحة القاعدتين الدائريتين، ويتم حسابها كالآتي:
  • المساحة الكلية للاسطوانة = 2×π×مربع نصف قطر القاعدة + (2 × π × نصف قطر القاعدة) × الارتفاع = 2 × π × نصف قطر القاعدة × (نصف قطر القاعدة + الارتفاع)، وبالرموز:
  • المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نق×(نق+ع).


أمثلة على حساب مساحة الأسطوانة


السؤال:

جد المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 م، وارتفاعها 9 م؟[١١]

الحل:

المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع = 2×3.14×3×9 = 169.56م².



السؤال:

جد المساحة الكلية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 5م، وارتفاعها 7م؟[١٢]

الحل:

المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نق×(نق+ع) = 2×3.14×5×(5+7) = 376.8 م².



السؤال:

لدى امل خزان مياه أسطواني قديم في منزلها، تريد معرفة مساحة الخزان اذا كان نصف قطره 40 سم، وارتفاعه 150 سم؟[١٣]

الحل:

المساحة الكلية للأسطوانة = 2×π×نق×(نق+ع) = 2×3.14×40×(150+40) = 47,728 سم².





حجم الأسطوانة

يحدد حجم الأسطوانة مقدار المساحة التي تشغلها، ويمكن حساب الحجم باستخدام العلاقة الآتية:[١٤]

  • حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع، وبالرموز:
  • حجم الأسطوانة = π×نق²×ع.


أمثلة على حساب حجم الأسطوانة


السؤال:

جد حجم أسطوانة نصف قطرها 3 سم، وارتفاعها 5 سم؟[١٥]

الحل:

حجم الأسطوانة = π×نق²×ع = 3.14×(3)²×5 = 141.30سم².




السؤال:

ما هو حجم وعاء الماء الأسطواني الذي يبلغ ارتفاعه 7 سم، وقطره 10 سم؟[١٦]

الحل:
  • قطر الوعاء 10 سم، ومنه: نصف قطره = 10/2 = 5.
  • حجم الأسطوانة = π×نق²×ع = 3.14×(5)²×7 = 549.5 سم².






المراجع

  1. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  2. ↑ Varsity Tutors (2020), "cylinder", varsitytutors, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  3. ↑ byjus team (2020), "Cylinder (Shape, Properties, Formulas, Surface Area, Volume", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  4. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  5. ↑ byjus team (2020), "Cylinder (Shape, Properties, Formulas, Surface Area, Volume", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  6. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  7. ↑ byjus team (2020), "Cylinder (Shape, Properties, Formulas, Surface Area, Volume", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  8. ↑ byjus team (2020), "Cylinder (Shape, Properties, Formulas, Surface Area, Volume", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  9. ↑ Joe Kochitty, Rajshekhar Ratrey,Parabhadeep Dedi...etc (2020), "Cylinder Formula Cheat Sheet", toppr, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  10. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  11. ↑ Varsity Tutors (2020), "cylinder", varsitytutors, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  12. ↑ Varsity Tutors (2020), "cylinder", varsitytutors, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  13. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  14. ↑ cuemath teachers (2019), "Cylinder-Definition, Formulas, Properties, Types, Example", cuemath, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  15. ↑ Joe Kochitty, Rajshekhar Ratrey,Parabhadeep Dedi...etc (2020), "Cylinder Formula Cheat Sheet", toppr, Retrieved 25/8/2021. Edited.
  16. ↑ byjus team (2019), "Cylinder (Shape, Properties, Formulas, Surface Area, Volume", byjus, Retrieved 25/8/2021. Edited.