قاعدة اشتقاق الجذر
قاعدة اشتقاق الجذر هي كالآتي:[١]
أو بالصيغة الآتية:
إيجاد قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام تعريف المشتقة
فيما يأتي إثبات قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام تعريف المشتقة (أو المبادئ الأولية للمشتقة):[١][٢]
- يعطى تعريف المشتقة بالصيغة الآتية:
f'(x) = lim h→0 + h) - f(x) / h
- نطبقها على الجذر كالآتي:
d(√x)/dx = lim h→0 [√(x + h) - √x] / h
- للتبسيط نضرب البسط والمقال بـ (x + h)√ + x√ فتصبح المعادلة كالآتي:
lim h→0 [√(x + h) - √x] / h = lim h→0 { [√(x + h) - √x] × [√(x + h) + √x ] } / { h × [√(x + h) + √x ] }
((a+b) (a-b) = a2 – b2 باستخدام القاعدة) .. lim h→0 + h) - x / { h × [√(x + h) + √x ] } =
lim h→0 + h - x / { h × [√(x + h) + √x ] } =
lim h→0 h / { h × [√(x + h) + √x ] } =
lim h→0 1 / [√(x + h) + √x ] =
1/(x + √x√) =
1/(2√x) =
إيجاد قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام قاعدة القوة
يمكن إيجاد مشتقة الجذر باستخدام قاعدة القوة (بالإنجليزية: Power Rule) والتي تنص على أن:[٣]
d(xn)/dx = nxn-1
عندما تكون n ≠ -1
وذلك كالآتي:
جذر الـ x هو عبارة عن x مرفوعة للقوة نصف x = x1/2√
وعليه فإن:
d(x1/2)/dx = (1/2) x(1/2) - 1
= (1/2) x-1/2
= 1/(2√x)
أمثلة حسابية على قاعدة مشتقة الجذر
فيما يأتي مجموعة من الأمثلة الحسابية على قاعدة مشتقة الجذر السابقة:[١]
أوجد مشتقة الجذر (2x + 5)√:
d(√(2x + 5))/dx = d(√(2x + 5))/d(2x + 5) × d(2x + 5)/dx
= 1/((2x + 5)√2) × 2
= 2/((2x + 5)√2)
= 1/(2x + 5)√
أوجد مشتقة الجذر (x - 3)√:
d(√(x - 3))/dx = d(√(x - 3))/d(x - 3) × d(x - 3)/dx
= 1/((x - 3)√2)
ما هي مشتقة الجذر (x2 + 1)√؟
d(√(x2 + 1))/dx = d(√(x2 + 1))/d(x2 + 1) × d(x2 + 1)/dx
= 1/((x2 + 1)√2) × 2x
= 2x / 2√(x2 + 1)
= x / √(x2 + 1)
أوجد مشتقة الجذر (x - 1)√
d(√(x - 1))/dx = 1/(2√(x - 1))
هي مشتقة الاقتران الآتي:
f(x) = 1/√x
d(1/√x)/dx
= x-1/2 - 1(-1/2)
= (-1/2) x-3/2
المراجع
- ^ أ ب ت "Derivative of Root x", cuemath, Retrieved 19/7/2022. Edited.
- ↑ "How do I find the derivative of f ( x ) = √ x using first principles?", socratic, Retrieved 19/7/2022. Edited.
- ↑ "How to Differentiate the Square Root of X", wikihow, Retrieved 19/7/2022. Edited.
