قاعدة اشتقاق الجذر

قاعدة اشتقاق الجذر هي كالآتي:[١]





أو بالصيغة الآتية:





إيجاد قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام تعريف المشتقة

فيما يأتي إثبات قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام تعريف المشتقة (أو المبادئ الأولية للمشتقة):[١][٢]

  • يعطى تعريف المشتقة بالصيغة الآتية:

f'(x) = lim h→0 + h) - f(x) / h

  • نطبقها على الجذر كالآتي:

d(√x)/dx = lim h→0 [√(x + h) - √x] / h

  • للتبسيط نضرب البسط والمقال بـ (x + h)√ + x√ فتصبح المعادلة كالآتي:

lim h→0 [√(x + h) - √x] / h = lim h→0 { [√(x + h) - √x] × [√(x + h) + √x ] } / { h × [√(x + h) + √x ] }

((a+b) (a-b) = a2 – b2 باستخدام القاعدة) .. lim h→0 + h) - x / { h × [√(x + h) + √x ] } =

lim h→0 + h - x / { h × [√(x + h) + √x ] } =

lim h→0 h / { h × [√(x + h) + √x ] } =

lim h→0 1 / [√(x + h) + √x ] =

1/+ 0)√ + x √

1/(x + √x√) =

1/(2√x) =


إيجاد قاعدة اشتقاق الجذر باستخدام قاعدة القوة

يمكن إيجاد مشتقة الجذر باستخدام قاعدة القوة (بالإنجليزية: Power Rule) والتي تنص على أن:[٣]

d(xn)/dx = nxn-1

عندما تكون n ≠ -1


وذلك كالآتي:

جذر الـ x هو عبارة عن x مرفوعة للقوة نصف x = x1/2

وعليه فإن:

d(x1/2)/dx = (1/2) x(1/2) - 1

= (1/2) x-1/2

= 1/(2√x)


أمثلة حسابية على قاعدة مشتقة الجذر

فيما يأتي مجموعة من الأمثلة الحسابية على قاعدة مشتقة الجذر السابقة:[١]


السؤال:

أوجد مشتقة الجذر (2x + 5)√:


الحل:

d(√(2x + 5))/dx = d(√(2x + 5))/d(2x + 5) × d(2x + 5)/dx

= 1/((2x + 5)√2) × 2

= 2/((2x + 5)√2)

= 1/(2x + 5)√







السؤال:

أوجد مشتقة الجذر (x - 3)√:

الحل:

d(√(x - 3))/dx = d(√(x - 3))/d(x - 3) × d(x - 3)/dx

= 1/((x - 3)√2)





السؤال:

ما هي مشتقة الجذر (x2 + 1)√؟

الحل:

d(√(x2 + 1))/dx = d(√(x2 + 1))/d(x2 + 1) × d(x2 + 1)/dx

= 1/((x2 + 1)√2) × 2x

= 2x / 2√(x2 + 1)

= x / √(x2 + 1)





السؤال:

أوجد مشتقة الجذر (x - 1)√

الحل:

d(√(x - 1))/dx = 1/(2√(x - 1))




السؤال:

هي مشتقة الاقتران الآتي:

f(x) = 1/√x

الحل:

d(1/√x)/dx

= x-1/2 - 1(-1/2)

= (-1/2) x-3/2




المراجع

  1. ^ أ ب ت "Derivative of Root x", cuemath, Retrieved 19/7/2022. Edited.
  2. "How do I find the derivative of f ( x ) = √ x using first principles?", socratic, Retrieved 19/7/2022. Edited.
  3. "How to Differentiate the Square Root of X", wikihow, Retrieved 19/7/2022. Edited.