حل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل

من أبسط الطرق التي يمكن استخدامها لحل ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل (متغيرات)، هي طريقة الحذف، وذلك كالآتي:[١][٢][٣]

  1. ترتيب المعادلات الثلاثة بحيث نضع المتغير الأول في المعادلة الأولى أسفل المتغير الأول (المجهول الأول) في المعادلة الثانية وأسفلهما المتغير الأول في المعادلة الثالثة، وهكذا بالنسبة للمتغير الثاني والمتغير الثالث، وذلك لتسهيل التعامل مع المعادلة واختيار المتغير الذي يمكن حذفه من المعادلات الثلاثة أولًا.
  2. اختيار واحد من المتغيرات الثلاثة الموجودة في المعادلات الثلاثة لحذفه، ليصبح النظام مكونًا من متغيرين اثنين فقط، وعندها يتم استخدام طريقة الحذف مرة ثانية للتخلص من متغير آخر، ليتبقى متغير واحد فقط مجهول في النظام بأكمله.
  3. بعد اختيار المتغير المُراد حذفه من الثلاث معادلات، يتم أخذ أول معادلتين وحذف المتغير المطلوب منهما، ثم جمع المعادلتين معًا للحصول على معادلة جديدة.
  4. أخذ المعادلتين الثانية والثالثة معًا، وحذف المتغير الذي وقع عليه الاختيار منهما أيضًا (نفس المتغير الذي حُذف في الخطوة السابقة يُحذف في هذه الخطوة)، وبعد ذلك يجب جمع المعادلتين للحصول على معادلة أخرى جديدة، وعندها يصبح النظام مكونًا من معادلتين جديدتين بمجهولين اثنين فقط.
  5. أخذ المعادلتين الجديدتين، وحلهما باستخدام طريقة الحذف مجددًا، أي اختيار أحد المتغيرين الاثنين المتبقين وحذف أحدهما، ثم جمع المعادلتين للحصول على معادلة نهائية بمتغير واحد فقط.
  6. حل المعادلة النهائية التي تحتوي على متغير واحد، وإيجاد قيمية هذا المتغير بالتحديد.
  7. تعويض قيمة المتغير الذي تم إيجاده في الخطوة السابقة في واحدة من المعادلتين الجديدتين اللتين تحتويان على متغيرين اثنين فقط لإيجاد قيمة المتغير الآخر الموجود فيمها بالتحديد.
  8. تعويض قيمتي المتغيرين اللذين تم إيجادهما في الخطوتين السابقتين في إحدى المعادلات الثلاث الأصلية في النظام لإيجاد قيمة المتغير الثالث المجهول بالتحديد، وهكذا يكون قد تم الحصول على قيم المتغيرات الثلاثة المجهولة، وحل المعادلات الثلاثة المطلوبة في السؤال بأبسط طريقة ممكنة.


مثال لتوضيح كيفية حل ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل

حل المعادلات الثلاثة الآتية:[٣][١][٢]

س + ص + ع = 7

-ص + 2 س + 3 ع = 12

-2 س -3 ص + ع = -4


أولًا: نرتب المعادلات الثلاثة بوضع المتغير الأول أسفل المتغير الأول في الثلاث معادلات، والمتغير الثاني أسفل المتغير الثاني في الثلاث معادلات، والمتغير الثالث أسفل المتغير الثالث في الثلاث معادلات، وذلك كالآتي:

س + ص + ع = 7 .... (1)

2 س - ص + 3 ع = 12 .... (2)

-2 س -3 ص + ع = -4 .... (3)


ثانيًا: نختار المتغير ص لحذفه من المعادلات الثلاثة، وللقيام بذلك يجب حذفه من المعادلتين (1) و(2) أولًا، وذلك كالآتي:

س + ص + ع = 7

2 س - ص + 3 ع = 12

الآن نجمع المعادلتين للحصول على معادلة جديدة بمتغيرين اثنين فقط، وذلك كالآتي:

3 س + 4 ع = 19 .... (4)


ثالثًا: نحذف المتغير ص من المعادلتين (2) و (3)، وذلك بضرب المعادلة رقم (2) بالعدد -3 وذلك بهدف توحيد معاملات المتغير ص في المعادلتين مع عكس الإشارة، لنستطيع القيام بعملية الحذف، وذلك كالآتي:

(2 س - ص + 3 ع = 12) × -3

-2 س -3 ص + ع = -4

تصبح المعادلتان كالآتي:

-6 س +3 ص - 9 ع = - 36

-2 س -3 ص + ع = -4

الآن نحذف المتغير ص كالآتي:

-6 س +3 ص - 9 ع = - 36

-2 س -3 ص + ع = -4

الآن نجمع المعادلتين للحصول على معادلة جديدة بمتغيرين اثنين فقط، وذلك كالآتي:

-8 س -8 ع = -40 .... (5)


رابعًا: نأخذ المعادلتين (4) و(5) ونحلهما معًا باستخدام طريقة الحذف مرة أخرى، للحصول على معادلة واحدة بمتغير واحد، كالآتي:

3 س + 4 ع = 19

-8 س -8 ع = -40

نختار حذف المتغير ع من المعادلتين، ولذلك يجب توحيد معاملات المتغير ع مع عكس الإشارة لنستطيع حذفه، وللقيام بذلك يمكننا قسمة المعادلة رقم (5) على 2، وذلك كالآتي:

3 س + 4 ع = 19

(-8 س -8 ع = -40) /2

تصبح المعادلتان كالآتي:

3 س + 4 ع = 19

-4 س - 4 ع = - 20

الآن نستطيع حذف المتغير ع من المعادلتي السابقتين، كالآتي:

3 س + 4 ع = 19

-4 س - 4 ع = - 20

الآن نجمع المعادلتين للحصول على معادلة جديدة بمتغير واحد فقط، وذلك كالآتي:

-س = -1 ... (6)

نحل المعادلة ببساطة بضربها بـ -1 لنحصل على قيمة المتغير س، كالآتي:

(-س = -1) × -1

س = 1


خامسًا: نعوض قيمة المتغير س التي تم إيجادها في الخطوة السابقة في المعادلة رقم (4) أو المعادلة رقم (5) لإيجاد قيمة المتغير ع، ونحن هنا سنختار المعادلة رقم (4)، وذلك كالآتي:

3 س + 4 ع = 19

3 × 1 + 4 ع = 19

4 ع = 19 - 3

4 ع = 16

ع = 4


سادسًا: نعوض قيم كل من المتغير س والمتغير ع في إحدى المعادلات الثلاثة الأصلية بثلاث المجاهيل، أي في المعادلة رقم (1)، أو رقم (2)، أو رقم (3)، لإيجاد قيمة المتغير الأخير وهو المتغير ص، ونحن هنا نختار التعويض في المعادلة رقم (1)، وذلك كالآتي:

س + ص + ع = 7

1 + ص + 4 = 7

ص + 5 = 7

ص = 7 - 5

ص = 2


للتحقق من الحل:

نعوض قيم كل من المتغيرات س و ص وع في إحدى المعادلات الثلاثة الأصلية، فإذا حققت القيم المعادلة، فإن الحل يكون صحيحًا، وذلك كالآتي:

2 س - ص + 3 ع = 12 .... (2)

2 س - ص + 3 ع = 12

2 × 1 - 2 + 3× 4 = 12

2 - 2 + 12 = 12

0 + 12 = 12

12 = 12 إذًا الحل صحيح.


المراجع

  1. ^ أ ب "Systems of Linear Equations: Three Variables", courses.lumenlearning, Retrieved 11/10/2022. Edited.
  2. ^ أ ب "Simultaneous equations: Section 3", themathpage, Retrieved 11/10/2022. Edited.
  3. ^ أ ب "Solving linear systems with 3 variables", khanacademy, Retrieved 11/10/2022. Edited.