ما هي أهم قوانين المجسمات الهندسية؟
يمكن تعريف المجسمات (بالإنجليزية: Solids) في الرياضيات بأنها عبارة عن أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد، حيث يتضمن كلٌ منها أبعادٌ ثلاثة، وهي الطول والعرض والارتفاع، ولهذا فهي تعرف باسم الأشكال ثلاثية الأبعاد أو الكائنات ثلاثية الأبعاد، وتجدر الإشارة إلى أن المجسمات تشغل مساحة معينة ولها حجم ثابت، ومن أهم قوانين المجسمات الهندسية في الرياضيات؛ قوانين حساب الحجم والمساحة الكلية لها، وفيما يأتي توضيح للقوانين الخاصة بأشهر هذه المجسمات:[١][٢][٣]
قوانين الحجم للمجسمات الهندسية
فيما يأتي ذكر للقوانين التي يتم استخدامها لحساب أحجام أشهر المجسمات الهندسية، مع مثال يوضح كيفية استخدام كل منها:
قانون حساب حجم المكعب
V = a^3
حيث إن:
- V: حجم المكعب
- a: طول ضلع أحد وجوده المكعب.
مثال:
إذا كان لدينا مكعب، طول جميع أضلاعه 5 سم، احسب حجمه.
الحل:
V = 5^3 = 125 سم³.
قانون حساب حجم متوازي المستطيلات
V = lwh
حيث إن:
- V: حجم متوازي المستطيلات
- l: طول متوازي المستطيلات
- w: عرض متوازي المستطيلات
- h: ارتفاع متوازي المستطيلات
مثال:
إذا كان لدينا متوازي المستطيلات بطول 6 سم، وعرض 4 سم، وارتفاع 3 سم، احسب حجمه.
الحل:
V = 6 × 4 × 3 = 72 سم³.
قانون حساب حجم الكرة
V = (4/3)πr^3
حيث إن:
- V: حجم الكرة
- r: نصف قطر الكرة
- π: ثابت رياضي، يلفظ باي، وتساوي قيمته تقريباً 3.14 أو 22/7.
مثال:
إذا كان لدينا كرة، نصف قطرها يبلغ 2 سم، احسب حجمها
الحل:
V = (4/3) × π× (2^3) = (4/3) × 3.14 × 8 = 100.48 سم³.
قانون حساب حجم الأسطوانة
V = πr^2h
حيث إن:
- V: حجم الأسطوانة
- r: نصف قطر قاعدة الأسطوانة
- h: ارتفاع الأسطوانة
مثال:
إذا كان لدينا أسطوانة نصف قطر قاعدتها يبلغ 3 سم وارتفاعها 10 سم، احسب حجمها.
الحل:
V = π × (3^2) × 10 = 282.6 سم³.
قانون حساب حجم المخروط
V = (1/3)πr^2h
حيث إن:
- V: حجم المخروط
- r: نصف قطر قاعدة المخروط
- h: ارتفاع المخروط.
مثال:
إذا كان لدينا مخروط نصف قطر قاعدته يبلغ 4 سم وارتفاعه 6 سم، احسب حجمه.
الحل:
V = (1/3)π × (4^2) × 6 = (1/3)π × 96 = 100.48 سم³.
قوانين مساحة السطح للمجسمات الهندسية
فيما يأتي ذكر للقوانين التي يتم استخدامها لحساب المساحة السطحية لأشهر المجسمات الهندسية، مع مثال يوضح كيفية استخدام كل منها:
قانون حساب مساحة سطح المكعب
A = 6a^2
حيث إن:
- A: مساحة سطح المكعب
- a: طول ضلع المكعب
مثال:
إذا كان لدينا مكعب طول جميع أضلاعه 4 سم، احسب مساحة سطحه.
الحل:
A = 6 × (4^2) = 96 سم².
قانون حساب مساحة سطح متوازي المستطيلات
A = 2lw + 2lh + 2wh
حيث إن:
- A: مساحة سطح متوازي المستطيلات
- l: طول متوازي المستطيلات
- w: عرض متوازي المستطيلات
- h: ارتفاع متوازي المستطيلات
مثال:
إذا كان لدينا متواز مستطيلات بطول 6 سم، وعرض 4 سم، وارتفاع 3 سم، احسب مساحة سطحه.
الحل:
A = 2 × 6 × 4 + 2 × 6 × 3 + 2 × 4 × 3 = 48 + 36 + 24 = 108 سم².
قانون حساب مساحة سطح الكرة
A = 4πr^2
حيث إن:
- A: مساحة سطح الكرة
- r: نصف قطر الكرة
- π: ثابت رياضي، يلفظ باي، وتساوي قيمته تقريباً 3.14 أو 22/7.
مثال:
إذا كان لدينا كرة بنصف قطر يبلغ 5 سم، احسب مساحة سطحها.
الحل:
A = 4 × π × (5^2) = 4 × π × 25 = 314 سم².
قانون حساب مساحة سطح الأسطوانة
A = 2πr^2 + 2πrh
حيث إن:
- A: مساحة سطح الأسطوانة
- r: نصف قطر قاعدة الأسطوانة
- h: ارتفاع الأسطوانة
مثال:
إذا كان لدينا أسطوانة طول نصف قطر قاعدتها يبلغ 3 سم وارتفاعها يبلغ 8 سم، احسب مساحة سطحها.
الحل:
A = 2π × (3^2) + 2π × 3 × 8 = 18π + 48π = 207.24 سم².
قانون حساب مساحة سطح المخروط
A = πr^2 + πrℓ
حيث إن:
- A: مساحة سطح المخروط
- r: نصف قطر قاعدة المخروط
- ℓ: الارتفاع المائل للمخروط
مثال:
إذا كان لدينا مخروط نصف قطر قاعدته يبلغ 4 سم وارتفاعه المائل يبلغ 6 سم، احسب مساحة سطحه.
الحل:
A = π × (4^2) + π × 4 × 6 = 16π + 24π = 125.6 سم².
ملخص
المجسمات في الرياضيات هي أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد تتضمن طولًا وعرضًا وارتفاعًا، وهي تُعرف أيضًا بأشكال ثلاثية الأبعاد أو الكائنات ثلاثية الأبعاد، وتمتلك المجسمات حجمًا ثابتًا، وتشغل مساحة معينة، علمًا بأن قوانين حساب الحجم ومساحة السطح الكلية للمجسمات تعد أمورًا أساسية في الرياضيات، ولكل مجسم قوانين خاصة به، تعتمد على أبعاده؛ مثل طوله، وعرضه، وارتفاعه، ونصف قطر قاعدته، وهكذا.
المراجع
- ↑ "Solids", byjus, Retrieved 1/10/2023. Edited.
- ↑ "Solids - Types of Solids, Formula List and Solved Examples", vedantu, Retrieved 1/10/2023. Edited.
- ↑ "Combination of Solids", toppr, Retrieved 1/10/2023. Edited.
