ما هو تعريف المخروط في الرياضيات؟
يعرف المخروط (بالإنجليزية: Cone) بأنه شكل هندسي ثلاثي الأبعاد شبيه بالهرم نوعًا ما، يتكون من قاعدة مسطحة دائرية الشكل تكون متصلة برأس واحد مدبب يعرف عادةً باسم قمة المخروط أو رأس المخروط، وذلك عبر جوانب منحنية متصلة، حيث تمتد الجوانب المنحنية للمخروط من القاعدة وصولًا إلى القمة، مكوِّنة سطحًا مستمرًا، إذ يتكون المخروط من خلال اتصال جميع النقاط الموجودة على قاعدته الدائرية بنقطة القمة الموجودة أعلى المخروط.[١]
ما هي عناصر المخروط؟
يتكون المخروط من العناصر الرئيسية الآتية:[١]
- قاعدة دائرية: يمتلك المخروط قاعدة دائرية الشكل، والتي تختلف مساحتها باختلاف المخروط.
- قمة واحدة مدببة: يمتلك المخروط رأس واحد محدد يقع مباشرة فوق مركز قاعدته الدائرية، وهو يعرف باسم قمة المخروط، علمًا بأن القمة هي التي تمنح المخروط شكله المميز الشبيه بالهرم نوعًا ما، مع وجود زاوية تعرف باسم زاوية القمة أو الزاوية الرأسية (بالإنجليزية: apex angle)، وهي الزاوية المحصورة بين الجانب المائل للمخروط وبين قاعدة المخروط الدائرية، مع الإشارة إلى أن الزاوية الرأسية تُحدد بناءً على أبعاد القاعدة والارتفاع، وفي حال كانت الزاوية الرأسية ذات قياس صغير، سيكون المخروط طويلًا ونحيفًا، أما إذا كانت الزاوية الرأسية كبيرة القياس، فإن المخروط سيصبح عندها أقصر وأعرض.
- جوانب مائلة: يمتلك المخروط جوانب مائلة أو منحنية تصل بين قاعدته الدائرية وقمته الموجودة في الأعلى.
ما هي خصائص المخروط؟
يمتلك المخروط مجموعة من الخصائص التي تميزه عن الأشكال الهندسية الأساسية الأخرى في الرياضيات؛ وفيما يأتي توضيح لأهم هذه الخصائص:[٢]
- القاعدة الدائرية: يتميز المخروط بامتلاكه لقاعدة دائرية الشكل (بالإنجليزية: Circular Base)، علمًا بأن مساحة الدائرة تحدد أبعاد المخروط.
- القمة أو الرأس: قمة المخروط (بالإنجليزية: Apex or Vertex) هي النقطة الأعلى للمخروط، وهي توجد مباشرة فوق مركز القاعدة الدائرية.
- الارتفاع المائل: الارتفاع المائل للمخروط (بالإنجليزية: Slant Height) هو المسافة التي تمتد من رأسه أو قمته إلى أي نقطة تقع على محيط قاعدته.
- الارتفاع: ارتفاع المخروط (بالإنجليزية: Height) هو المسافة العمودية التي تصل بين قاعدته وقمته، وهذا يعني أنه عبارة عن خط مستقيم متعامد تمامًا مع القاعدة، ويمر عبر القمة.
- الزاوية الرأسية: الزاوية الرأسية (بالإنجليزية: The Angle at the Apex) في المخروط هي الزاوية التي تتشكل بين خطين يمتدان من قمة المخروط إلى أي نقطتين على محيط القاعدة.
ما قانون حساب حجم المخروط؟
يمكن حساب حجم المخروط باستخدام العلاقة الرياضية الآتية:[٢][٣]
حجم المخروط = 1/3π × تربيع نصف قطر القاعدة × ارتفاع المخروط
بالرموز:
V = (1/3)πr^2h
حيث إن:
- r: هي نصف قطر القاعدة
- h: هي ارتفاع القاعدة
مثال على قانون حساب حجم المخروط
إذا علمت أن مخروط قياس نصف قطر قاعدته الدائرية يساوي 3 سم، وارتفاعه 10 سم، احسب حجم المخروط.
المعطيات:
نصف القطر (r) = 3 سم
الارتفاع (h) = 10 سم
الحل:
باستخدام قانون حجم المخروط:
V = (1/3) * π * r^2 * h
V = (1/3) * 3.14 * (3 سم)^2 * 10 سم
V = (1/3) * 3.14 * 9 سم^2 * 10 سم
V = (1/3) * 3.14 * 300 سم^3
V = 94.2 سم^3
إذًا حجم المخروط المرور يساوي 94.2 سم^3.
ما هو قانون حساب المساحة السطحية للمخروط؟
تعرف المساحة السطحية الكلية للمخروط بأنها مجموع مساحة قاعدته وسطحه الجانبي المائل، ويمكن حساب المساحة السطحية للمخروط باستخدام العلاقة الرياضية الآتية:[٢][٤]
المساحة السطحية للمخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × الارتفاع المائل للمخروط
بالرموز:
A = πrs
حيث إن:
- r: هي نصف قطر القاعدة
- s: هي الارتفاع المائل للمخروط
مثال على حساب المساحة السطحية للمخروط
إذا علمت أن مخروط قياس نصف قطر قاعدته الدائرية يساوي 5 سم، وارتفاعه المائل يساوي 8 سم، احسب المساحة السطحية الكلية للمخروط.
المعطيات:
نصف قطر القاعدة (r) = 5 سم.
الارتفاع المائل (s) = 8 سم.
الحل:
A = π × 5 سم × 8 سم
A = π × 40 سم²
A = 125.66 سم²
إذاً، المساحة السطحية للمخروط تساوي 125.66 سنتيمتراً مربعاً.
ملخص
المخروط هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد يشبه الهرم؛ يتألف من قاعدة دائرية مسطحة متصلة برأس واحد، ويُعرف هذا الرأس عادة بقمة المخروط، علمًا بأن القاعدة والقمة يكونان متصلتين بجوانب منحنية تمتد بينهما، مكوِّنة سطحًا مستمرًا، ويمكن تشكيل المخروط عن طريق اتصال جميع نقاط القاعدة الدائرية بالقمة، ومن أهم خصائص المخروط امتلاكه لقاعدة دائرية تحدد شكله وقمة توجد في أعلى المخروط، وارتفاع مائل يمتد من القمة إلى نقطة على محيط القاعدة، وارتفاع عمودي يمتد بين القاعدة والقمة، وزاوية القمة التي تتشكل بين خطين من القمة إلى نقاط على القاعدة.
