كيفية حل المعادلة في الرياضيات

تعني عملية حل المعادلة في الرياضيات البحث عن قيم المتغيرات التي تجعل المعادلة صحيحة، وعلى الرغم من وجود أنواع مختلفة من المعادلات، بما في ذلك المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية والمعادلات متعددة الحدود وغيرها، إلا أنه يمكن توضيح طريقة حل المعادلات الرياضية بشكلٍ عام بالخطوات الآتية:[١][٢][٣]

  • تحديد نوع المعادلة: لحل المعادلة في الرياضيات أولًا يحب تحديد نوع المعادلة التي تتعامل معها، حيث تتطلب الأنواع المختلفة من المعادلات طرق حل مختلفة.
  • عزل المتغير: أعد ترتيب المعادلة بحيث تتمكن من عزل المتغير الذي ترغب في إيجاد قيمته على جانب واحد من المعادلة، ويمكنك القيام بذلك من خلال تطبيق نفس العمليات على الجانبين من المعادلة للحفاظ على تساوي الحدين الأيمن والأيسر على طرفي إشارة المساواة.
  • أداء العمليات الجبرية: استخدم عمليات الجبر المختلفة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة لتبسيط المعادلة وعزل المتغير في أحد طرفي المعادلة.
  • تبسيط المعادلة: قم بجمع الحدود المتشابهة على طرفي المعادلة لتبسيطها أكثر، علمًا بأن الهدف هو الحصول على حد المتغير على جانب واحد والثوابت على الجانب الآخر.
  • إيجاد قيمة المتغير: بمجرد عزل المتغير على جانب واحد من المعادلة، يمكنك إيجاد قيمته، فمثلًا إذا كانت المعادلة خطية بسيطة، سيكون لديك المتغير بمفرده عادةً، أما بالنسبة للمعادلات الأكثر تعقيداً، فقد تحتاج إلى تطبيق تقنيات جبرية إضافية أو استخدام أساليب خاصة بنوع تلك المعادلة لإيجاد حلولها.
  • التحقق من الحل: بعد إيجاد قيمة المتغير، قم بوضع القيمة التي وجدتها مرة أخرى في المعادلة الأصلية للتأكد من أنها تجعل المعادلة صحيحة، فإذا كانت صحيحة، فقد وجدت حلول المعادلة، أما إذا لم تكن كذلك، فيجب عليك إعادة الحل مجددًا لمعرفة أين وقع الخطأ وتصحيحه.


أمثلة متنوعة على كيفية حل المعادلة في الرياضيات

الأمثلة الآتية توضح كيفية حل أنواع مختلفة من المعادلات في الرياضيات بطرق مختلفة، لكنها تعتمد على الخطوات التي ذُكرت سابقًا:[١][٢][٤]


مثال على حل المعادلة الخطية بمتغير واحد

حل المعادلة الخطية الآتية: 3x - 5 = 10


الحل:

المعادلة السابقة هي معادلة خطية بمتغير واحد، وهو المتغير (x)، أي أنه لحل المعادلة يجب إيجاد قيمة x التي تجعل المعادلة صحيحة، وذلك كالآتي:

3x - 5 = 10

3x - 5 + 5 = 10 + 5

3x - 5 + 5 = 10 + 5

وهذا يؤدي إلى:

3x = 15

بقسمة طرفي المعادلة على3:

(3x) / 3 = 15 / 3

نجد أن:

x = 5

يمكن التحقق من صحة الحل عن طريق إعادة وضع قيمة x في المعادلة الأصلية، وذلك كالآتي:

3(5) - 5 = 10

15 - 5 = 10

10 = 10

إذًا المعادلة صحيحة، لذا الحل صحيح. و x = 5.


مثال على حل المعادلة الخطية بمتغيرين

حل المعادلة الخطية الآتية: 2x + 3y = 12


الحل:

المعادلة السابقة هي معادلة خطية بمتغيرين هما (x وy)، أي أنه لحل المعادلة يجب إيجاد قيمة المتغيرين x وy التي تجعل المعادلة صحيحة، وذلك كالآتي:

2x + 3y = 12

2x + 3y - 3y = 12 - 3y

وهذا يؤدي إلى:

2x = 12 - 3y

بقسمة طرفي المعادلة على العدد 2 لجعل المتغير x وحدة في طرف المعادلة، نحصل على:

(2x) / 2 = (12 - 3y) / 2

وهذا يؤدي إلى:

x = (12 - 3y) / 2

الآن لدينا المتغير x بالنسبة للمتغير y، لذا يمكننا استخدام هذه الصيغة الرياضية للحصول على قيمة x بناءً على قيمة y، كالآتي:


إذا كنا نعلم أن قيمة y تساوي 2، يمكننا حساب قيمة x على النحو الآتي:


x = (12 - 3(2)) / 2

x = (12 - 6) / 2

x = 6 / 2

x = 3

إذاً، عندما y = 2، نجد أن x = 3، ويمكن تغيير قيمة y وحساب قيمة x بناءً على القيمة الجديدة لـ y باستخدام التعبير الذي حصلنا عليه وهو: x = (12 - 3y) / 2.




يمكن حل المعادلات الخطية في الرياضيات بطرق عديدة، من أشهرها طريقة الحذف وطريقة التعويض.




مثال على حل المعادلة التربيعية

حل المعادلة التربيعية الآتية: x2 + 6x + 7 = 0


الحل:

لحل المعادلة التربيعية السابقة، يمكننا استخدام طريقة إكمال المربع، وفيما يأتي توضيح لخطوات الحل

أولًا نحول المعادلة التربيعة من الصيغة العامة؛ ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة الآتية: x2 + bx = c، وذلك كالآتي:


x2 + 6x + 7 = 0

7 - x2 + 6x + 7 - 7 = 0

7- = x2 + 6x 

إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2)، وذلك كالآتي:

2(b/2) = 2(6/2)

= 2(3) = 9

إذا يجب إضافة العدد 9 إلى طرفي المعادلة ليصبح شكلها كالآتي:

9 + 7- = 9 + x2 + 6x 

9 + 7- = 9 + x2 + 6x 

2 = 9 + x2 + 6x 

تحليل الصيغة الآتية x2 + bx + (b/2)2 لتصبح على الشكل 2(x + n) حيث x هي نتيجة جذر الحد الأول أي x2، والإشارة التي في المنتصف هي إشارة الحد الثانية أي bx، أما n فهي نتيجة جذر الحد الثالث وهو 2(b/2)، كالآتي:

2 = 9 + x2 + 6x 

2 = 2(x + 3)

حل المعادلة التربيعية بأسلوب تقليدي:

2√± = 2(x + 3)√

2√± = 2(x + 3)√

2√± = (x + 3)

الحل الأول:

2√+ = x + 3

2√+ 3- = x 

1.4 + 3- = x 

x = - 1.6

الحل الثاني:

2√- = x + 3

2√- 3- = x 

1.4 - 3- = x 

x = - 4.4




يوجد طرق عديدة لحل المعادلة التربيعية منها، طريقة إكمال المربع، والتحليل إلى العوامل، وحلها باستخدام القانون العام.




مثال على حل المعادلة التفاضلية

حل المعادلة التفاضلية الآتية:

2x = 16


الحل:

بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة نحصل على:

ln(2x) = ln(16)

باستخدم خصائص اللوغاريتم

x×ln(2) = ln(16)

بقسمة طرفي المعادلة على ln(2) نحصل على:

x = ln(16) / ln(2)

x =2.77 / 0.69

x = 4


ملخص

حل المعادلات في الرياضيات يتضمن البحث عن القيم التي تجعل المعادلة صحيحة، علمًا بأنه يوجد أنواع مختلفة من المعادلات، مثل الخطية والتربيعية وغيرها، وتشمل الخطوات الأساسية لحل المعادلة في الرياضيات؛ تحديد نوع المعادلة ثم عزل المتغيرات واستخدام العمليات الجبرية لتبسيط المعادلة ثم إيجاد القيم الصحيحة للمتغيرات، وبعد الحل، يجب التحقق من صحة الحل من خلال إعادة وضع القيم في المعادلة الأصلية والتأكد من أنها تحقق المعادلة.






المراجع

  1. ^ أ ب "Solving Equations", thirdspacelearning, Retrieved 28/9/2023. Edited.
  2. ^ أ ب "Solving Equations", cuemath, Retrieved 28/9/2023. Edited.
  3. ↑ "Solving Equations", mathsisfun, Retrieved 28/9/2023. Edited.
  4. ↑ "Solving Equations – Techniques & Examples", storyofmathematics, Retrieved 28/9/2023. Edited.