الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية

تعرف المعادلة من الدرجة الثانية بأنها المعادلة التي تكون قيمة أعلى أس فيها؛ 2، حيث تحتوي جميع المعادلات من الدرجة الثانية على متغير يحمل الأس 2 مثل (x2)، ولذلك فإن هذه المعادلة تسمى العادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equations)، والصيغة العامة لأي معادلة تربيعية أو معادلة من الدرجة الثانية في الرياضيات هي ax2 + bx + c = 0، حيث a و b و c عبارة عن قيم معروفة.[١]




لا يمكن أن تكون a مساوية للصفر أبدًا، وذلك لأنه إذا كانت a مساوية للصفر، فإن الحد ax2 سيكون صفر أيضًا، وعندها لن تكون المعادلة معادلةً تربيعية.




كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية

يوجد عدة طرق يمكن استخدامها لحل المعادلة التربيعية، وهي كالآتي:[١]


باستخدام القانون العام

يمكن حل المعادلات التربيعية أو المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام، وهو كالآتي:


x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a

حيث إن:

  • x: حل المعادلة التربيعية أي القيم التي تحقق المعادلة.
  • a: معامل المتغير x2.
  • b: معامل المجهول x.
  • c: الحد المطلق أو الحد الثابت في المعادلة التربيعية.


لحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام يجب اتباع الخطوات الآتية:

  • كتابة المعادلة التربيعية على الصيغة العامة لها، أي ax2 + bx + c = 0.
  • تحديد قيم كل من a و b و c.
  • تعويض قيم a و b و c في القانون العام.
  • حل معادلة القانون العام لإيجاد قيم x الممكنة؛ أي إيجاد حلول المعادلة التربيعية المطلوبة في السؤال.


السؤال:

أوجد حل المعادلة الآتية من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام:

5x2 + 6x + 1 = 0


الحل:

أولًا: يجب تحديد قيم كل من a و b و c كالآتي:

a = 5

b = 6

c = 1

نعوض قيم كل من a و b و c في الصيغة الرياضية للقانون العام، لإيجاد حلول المعادلة التربيعية كالآتي:

x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a

x = (-6 ± √(62 - 4×5×1)) / 2×5

x = (-6 ± √(36 - 20)) / 10

x = (-6 ± √16) / 10

x = (-6 ± 4) / 10

الحل الأول:

x = (-6 + 4) / 10

x = (-2) / 10

x = - 0.2

الحل الثاني:

x = (-6 - 4) / 10

x = (-10) / 10

x = -1




باستخدام طريقة إكمال المربع

يمكن حل المعادلات التربيعية أو المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام طريقة إكمال المربع، من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٢]

  • تحويل المعادلة من الدرجة الثانية من الصيغة العامة لها؛ وهي ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة x2 + bx = c، من خلال قسمة جميع حدود المعادلة على المعامل a في حال كانت قيمته لا تساوي واحداً، ونقل الحد الثابت c إلى الطرف الآخر للمعادلة بعد تغيير إشارته.
  • إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة من الدرجة الثانية، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2) وعندها يصبح شكل المعادلة كالآتي:
  • 2(b/2) + x2 + bx + (b/2)2 = c
  • جمع الحدين 2(b/2) + c ووضع قيمتهما.
  • تحليل الصيغة الآتية x2 + bx + (b/2)2 لتصبح على الشكل 2(x + n) حيث x هي نتيجة جذر الحد الأول أي x2، والإشارة التي في المنتصف هي إشارة الحد الثانية أي bx، أما n فهي نتيجة جذر الحد الثالث وهو 2(b/2).
  • حل المعادلة من الدرجة الثانية وإيجاد قيم x؛ من خلال أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.


السؤال:

أوجد حل المعادلة الآتية من الدرجة الثانية باستخدام طريقة إكمال المربع:

x2 + 8x + 5 = 0


الحل:

أولًا: يجب تحويل المعادلة التربيعة من الصيغة العامة؛ وهي ax2 + bx + c = 0 إلى الصيغة x2 + bx = c، كالآتي:

x2 + 8x + 5 = 0

5 - x2 + 8x + 5 - 5 = 0

5 - x2 + 8x + 5 - 5 = 0

5- = x2 + 8x 

إضافة الحد اللازم لإكمال المربع إلى طرفي المعادلة، وهذا الحد هو عبارة عن 2(b/2) كالآتي:

2(b/2) = 2(8/2)

= 2(4) = 16

إذا يجب إضافة 16 إلى طرفي المعادلة ليصبح شكلها كالآتي:

16 + 5- = 16 + x2 + 8x 

تبسيط المعادلة وتحسين شكلها كالآتي:

16 + 5- = 16 + x2 + 8x 

11 = 16 + x2 + 8x 

11 = 16 + x2 + 8x 

11 = 2(x + 4)

11√± = 2(x + 4)√

11√± =2(x + 4)√

11√± =(x + 4)

الحل الأول:

11√+ =x + 4

11√+ 4- =x 

3.32 + 4- =x 

x = - 0.68

الحل الثاني:

11√- =x + 4

11√- 4- =x 

3.32 - 4- =x 

x = - 7.32




باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل

يمكن حل المعادلات التربيعية أو المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، من خلال اتباع الخطوات الآتية:[٣]

  • كتابة المعادلة التربيعية على الصيغة العامة لها، أي ax2 + bx + c = 0، حتى يكون أحد أطراف المعادلة هو العدد 0.
  • تحليل الطرف غير الصفري من المعادلة التربيعية إلى عوامله؛ أي تحليل الطرف ax2 + bx + c إلى عوامله.
  • مساواة كل عامل من العوامل الناتجة من عملية تحليل الطرف ax2 + bx + c بالصفر وإيجاد قيم x، أي إيجاد جميع حلول الممكنة للمعادلة من الدرجة الثانية.


السؤال:

أوجد حل المعادلة الآتية من الدرجة الثانية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:

x2 - 3x - 10 = 0


الحل:

x2 - 3x - 10 = 0

0 = (x + 2)(x - 5)

الحل الأول:

x + 2 = 0

x = -2

الحل الثاني:

x - 5 = 0

x = 5




باستخدام الجذر التربيعي

يمكن حل المعادلات التربيعية أو المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام الجذر التربيعي مباشرةً في حالة واحدة وهي عدم وجود الحد bx في صيغة المعادلة التربيعية، أي أن صيغتها تكون على الشكل ax2 + c = 0، أي أن قيمة b في هذه المعادلة تكون صفر، وبالتالي قيمة الحد bx تكون صفر أيضًا، وعندها يمكن استخدام الجذر التربيعي لحل المعادلة كالآتي:[٤]

  • نقل جميع الحدود الثابتة إلى أحد طرفي المعادلة، وترك الحد ax2 في طرف منفصل منها.
  • أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة من الدرجة الثانية وإيجاد قيم x، أي إيجاد حلول المعادلة.


السؤال:

أوجد حل المعادلة الآتية من الدرجة الثانية باستخدام طريقة الجذر التربيعي:

x2 - 1 = 15


الحل:

1 + x2 - 1 + 1 = 15

1 + x2- 1 + 1 = 15

x2 = 16

x2 = √16√

x2 = √16√

الحل الأول:

x = 4

الحل الثاني:

x = -4





المراجع

  1. ^ أ ب "Quadratic Equations", .mathsisfun, Retrieved 23/11/2022. Edited.
  2. ↑ "Solving Quadratic Equations by Completing the Square ", brainfuse, Retrieved 23/11/2022. Edited.
  3. ↑ "Solving Quadratic Equations Using Factoring", varsitytutors, Retrieved 23/11/2022. Edited.
  4. ↑ "How to Solve Quadratic Equations using the Square Root Method", chilimath, Retrieved 23/11/2022. Edited.